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Kleinere Formen mit konstanter Breite in höheren Dimensionen?
- Mondlicht2
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Kleinere Formen mit konstanter Breite in höheren Dimensionen?
1 Monat 3 Wochen her - 1 Monat 3 Wochen her
Mathematiker fragen sich schon lange, ob es immer möglich ist, kleinere Formen mit konstanter Breite in höheren Dimensionen zu finden.
www.quantamagazine.org/wp-content/upload...erWebbYoung-Lede.mp4
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Denken wir zunächst an Feynmans Demonstration im US-Fernsehen zurück: er bewies wie die O-Ring Dichtungen zur Hauptursache der Challenger Katastrophe wurden, die die Feststoffraketen der Raumfähre miteinander verbinden sollten, und die aufgrund der Kälte versagt hatten – mit katastrophalen Folgen. Doch er entdeckte auch noch eine ganze Reihe anderer Fehler. Dazu gehörte ...
Oded Schramm stellte 1988, seinerzeit Doktorand an der Princeton University, eine einfach klingende Frage: Kann man in jeder Dimension einen Körper mit konstanter Breite konstruieren, der exponentiell kleiner ist als der Ball? Er schlug auch vor, dass das Verständnis solcher Formen eine Möglichkeit bieten könnte, das Borsuk-Problem anzugehen.
Die Arbeit verschiedener Mathematiker incl. eines Beitrags von F. Nazarov auf MathOverflow aus dem Jahr 2022 liefert nun, siehe Link, einen überraschend einfachen Algorithmus zum Aufbau einer n-dimensionalen Form konstanter Breite, deren Volumen höchstens 0,9n-mal so groß ist wie das des Balls. Diese Grenze sei in gewisser Weise willkürlich, sagte Arman. Es sollte möglich sein, noch kleinere Körper konstanter Breite zu finden. Aber sie reicht aus, um Schramms Frage zu beantworten und zu beweisen, dass mit zunehmender Anzahl der Dimensionen die Lücke zwischen den Volumina der kleinsten und größten Körper konstanter Breite exponentiell wächst. Trotz der komplexen Ideen hinter ihrem Ergebnis, sagte Arman, ist ihre Konstruktion etwas, das Studenten überprüfen können sollten.
Ist das so? Und welchem praktischen Zweck könnte dies dienen?
In niedrigeren Dimensionen sind Körper mit konstanter Breite schließlich bereits überraschend nützlich: Das Reuleaux-Dreieck beispielsweise taucht in Form von Bohrern und Gitarrenplektren und manipulationssicheren Muttern für Hydranten auf.
Sollten die gefundenen neuen Formen in höheren Dimensionen bei der Entwicklung von maschinellen Lernmethoden zur Analyse hochdimensionaler Datensätze nützlich sein wie Arman in Erwägung zieht oder könnten Forscher endlich auf eine Ecke des geometrischen Universums zugreifen, die einst völlig unzugänglich war wie S. Artstein Quanta mitteilt? Und was ist mit dem Borsuk Problem? Warum ist es ungelöst?
www.quantamagazine.org/mathematicians-di...9b&mc_eid=1c9952022a
www.quantamagazine.org/wp-content/upload...erWebbYoung-Lede.mp4
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Denken wir zunächst an Feynmans Demonstration im US-Fernsehen zurück: er bewies wie die O-Ring Dichtungen zur Hauptursache der Challenger Katastrophe wurden, die die Feststoffraketen der Raumfähre miteinander verbinden sollten, und die aufgrund der Kälte versagt hatten – mit katastrophalen Folgen. Doch er entdeckte auch noch eine ganze Reihe anderer Fehler. Dazu gehörte ...
Warnung: Spoiler!
…die Art und Weise, wie die NASA die Form der O-Ringe berechnet hatte. Während der Tests vor dem Flug hatten die Ingenieure der Agentur wiederholt die Breite der Dichtungen gemessen, um sicherzustellen, dass sie sich nicht verformt hatten. Sie schlussfolgerten, dass ein O-Ring, der leicht gequetscht worden war – also beispielsweise eine ovale Form angenommen hatte, anstatt seine runde Form beizubehalten –, nicht mehr überall den gleichen Durchmesser haben würde. Diese Messungen, schrieb Feynman später, waren nutzlos. Selbst wenn die Ingenieure unendlich viele Messungen durchgeführt und jedes Mal den gleichen Durchmesser festgestellt hätten, gibt es viele „Körper mit konstanter Breite“, wie diese Formen genannt werden. Nur einer davon ist ein Kreis. Der wohl bekannteste nicht kreisförmige Körper mit konstanter Breite ist das Reuleaux-Dreieck, das man konstruieren kann, indem man den zentralen Überlappungsbereich in einem Venn-Diagramm mit drei Kreisen nimmt. Bei einer gegebenen Breite in zwei Dimensionen ist ein Reuleaux-Dreieck die Form mit konstanter Breite und der kleinstmöglichen Fläche. Ein Kreis hat die größte. In drei Dimensionen ist der größte Körper mit konstanter Breite ein Ball. In höheren Dimensionen ist es einfach ein höherdimensionaler Ball – die Form, die man erhält, wenn man eine Nadel an einen Punkt hält und sie frei in alle Richtungen rotieren lässt.
Oded Schramm stellte 1988, seinerzeit Doktorand an der Princeton University, eine einfach klingende Frage: Kann man in jeder Dimension einen Körper mit konstanter Breite konstruieren, der exponentiell kleiner ist als der Ball? Er schlug auch vor, dass das Verständnis solcher Formen eine Möglichkeit bieten könnte, das Borsuk-Problem anzugehen.
Die Arbeit verschiedener Mathematiker incl. eines Beitrags von F. Nazarov auf MathOverflow aus dem Jahr 2022 liefert nun, siehe Link, einen überraschend einfachen Algorithmus zum Aufbau einer n-dimensionalen Form konstanter Breite, deren Volumen höchstens 0,9n-mal so groß ist wie das des Balls. Diese Grenze sei in gewisser Weise willkürlich, sagte Arman. Es sollte möglich sein, noch kleinere Körper konstanter Breite zu finden. Aber sie reicht aus, um Schramms Frage zu beantworten und zu beweisen, dass mit zunehmender Anzahl der Dimensionen die Lücke zwischen den Volumina der kleinsten und größten Körper konstanter Breite exponentiell wächst. Trotz der komplexen Ideen hinter ihrem Ergebnis, sagte Arman, ist ihre Konstruktion etwas, das Studenten überprüfen können sollten.
Ist das so? Und welchem praktischen Zweck könnte dies dienen?
In niedrigeren Dimensionen sind Körper mit konstanter Breite schließlich bereits überraschend nützlich: Das Reuleaux-Dreieck beispielsweise taucht in Form von Bohrern und Gitarrenplektren und manipulationssicheren Muttern für Hydranten auf.
Sollten die gefundenen neuen Formen in höheren Dimensionen bei der Entwicklung von maschinellen Lernmethoden zur Analyse hochdimensionaler Datensätze nützlich sein wie Arman in Erwägung zieht oder könnten Forscher endlich auf eine Ecke des geometrischen Universums zugreifen, die einst völlig unzugänglich war wie S. Artstein Quanta mitteilt? Und was ist mit dem Borsuk Problem? Warum ist es ungelöst?
www.quantamagazine.org/mathematicians-di...9b&mc_eid=1c9952022a
Letzte Änderung: 1 Monat 3 Wochen her von Mondlicht2.
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- Rainer Raisch
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Re: Kleinere Formen mit konstanter Breite in höheren Dimensionen?
1 Monat 3 Wochen her - 1 Monat 3 Wochen herBevor ich das lese, wäre zu klären, was mit "Volumen" gemeint ist.=1emderen Volumen
Handelt es sich dabei um V=4r³π/3 oder Va=rªnB im ℝª
Da von der Größe des Balles die Rede ist, handelt es sich sicherlich um das Hypervolumen Va.
Ich verstehe zwar nicht, was das mit den Dimensionen zu tun hat, man kann doch jederzeit irgendein Volumen konstruieren, das kleiner als der Ball oder Würfel rª ist. Zwar nimmt der Ballfaktor nB ab der fünften Dimension wieder ab, aber das ist doch ganz egal, er wird nie Null, während das gesuchte Volumen durchaus gegen Null gehen darf. Und die "konstante Breite" ist ja kein Hindernis, der Ball hat auch einen "konstanten Radius".
nB = Γ.(1/2)ª/Γ.(a/2+1)
mit der Gammafunktion (Eulerintegral II.O.)
Letzte Änderung: 1 Monat 3 Wochen her von Rainer Raisch.
Danke von: Mondlicht2
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