Wir hatten im alten Forum die offene Frage, wie man darauf kommen kann, statt der Energieerhaltung
E = T+V
den Lagrangian
ℒ = T-V
zu untersuchen.
Veritasium hat dies wunderbar erklärt:
Man geht von der minimalen Wirkung nach Maupertuis aus, deren Variation δ.S = 0 ergeben soll (nahe des Minimum)
S = Σ.(m·v·s) Gesamtwirkung einer Trajektorie
In der Form des Integrals nach Euler ergibt sich nach einem Wechsel der Integrationsvariable von d.s zu v·d.t
(wodurch das Zeitintervall an die Stelle der Länge der Trajektorie tritt)
δ.S = 0 = δ∫m·v d.s = δ∫v²m d.t = δ∫
2T d.t = δ∫
T+(E-V) d.t = δ∫T-V d.t + δ∫E d.t =
und berücksichtigt zuletzt die Energieerhaltung, also δ.E = 0
= δ∫T-V d.t + δ(E·t) = δ∫T-V d.t + t·δ.E+E·δ.t = δ∫T-V d.t + E·δ.t
Da die Endpunkte der Trajektorie bzw das Zeitintervall zeitlich festgelegt sind, muss auch die Variation der Dauer δ.t = 0 sein.
δ∫T-V d.t = δ.∫ℒ d.t = 0
voila
Mit anderen Worten ist in den Lagrangian zusätzlich zur Energieerhaltung eingebaut, dass die Endpunkte zu fixen Zeitpunkten bzw innerhalb eines bestimmten Intervalls erreicht werden müssen.
