Schwarzschild Metrik - Zufall?

Ich bin auf zwei seltsame Zufälle bei der Schwarzschildmetrik gestoßen:

Bekanntlich sieht es bei (langsamer!) Anäherung an ein SL auf Grund der Raumdehnung (und der gravitativen Lorentzkontraktion) ab einem bestimmten Punkt so aus, als ob sich die Distanz trotz Annäherung vergrößern würde. (Im freien Fall würde die kinematische Lorentzkontraktion den Effekt zunichte machen).

Dieser Punkt berechnet sich aus dem Minimum des lokalen dR = dr/σ
Rloc = r/²(1-rs/r)
minR = min(Rloc) = ²3³rs/2
mit r(minR) = 3rs/2

Diese beiden Zahlen sind allerdings berühmt für die Schwarzschildmetrik:

Der Photonenradius, das ist der Radius, an dem ein Photon genau einen Orbit vollführen könnte, beträgt
rph = rs(1+cos.(π/3)) = 1,5rs = 3rs/2

Die folgenden Werte sind Koordinatenmaße, also eigentlich nicht mit dem obigen lokal gemessenen minR zu vergleichen, aber dennoch ....
Der Schatten des SL weist einen Radius auf von
robs = r/²(r²/3rph²σ²-1)² = 27rs/2 = ²3³rs/2
Dies ist deshalb auch der kritische Stoßparameter für Photonen.
bγ = ²(1-rs/rph)3rph = ²27rs/2 = ²3³rs/2
 

Rainer Raisch schrieb:

Rloc = r/²(1-rs/r)

Das ist falsch, richtig wäre dR=dr√gᵣᵣ=dr/√(1-rs/r). Der ganze Radius ist nicht lokal, nur das infininesimale Teilstück. Der Rest der weiter weg ist wird nicht multipliziert, sondern entlang der Gleichzeitigkeitshyperfläche die man wählt integriert (normal stationäre Uhren und Lineale, oder in Raindrop Koordinaten frei fallende), im Linienelement stehen die metrischen Koeffizienten ja auch neben dt, dr, etc. und nicht t, r, usw.

Yukterez schrieb:

Das ist falsch, richtig wäre

Das ist nicht falsch, sondern etwas anderes. Ich spreche nicht vom realen Radius durch Abschreiten.

Genauso wie der Koordinatenabstand r = r/²(1-0) = r vom Zentrum ist, so kann man von jeder Position aus einen "lokalen Koordinatenabstand" zum Zentrum messen. Das ist das, was man von dort aus "sieht".

Die r Koordinate ist als Umfang entlang θ und/oder φ durch 2π definiert, daran ändert sich nichts. Was man von dort aus sieht kann man raytracen. Wenn man sich dem SL langsam nähert hat man bei der Photonensphäre die untere Hälfte des 360° Vollpanoramas schwarz, das sieht so aus als würde man schon bis zum Bauch im SL stecken wobei man den eigenen Unterkörper auch nicht mehr sieht, obwohl man noch gar nicht drin ist.

Yukterez schrieb:

Was man von dort aus sieht

Die Betonung lag auf "Entfernung". 
In der Praxis würde es schon schwierig werden, diese Entfernung zu messen, weil man halt so gut wie gar nichts wirklich sieht.

Mir ist übrigens aufgefallen, dass die Fluchtgeschwindigkeit im Potential ja shapiroverzögert ist, die Berechnungen müssten daher immer einen höheren Wert als den gemäß Newton aufweisen, quasi den blauverschobenen Wert.

Rainer Raisch schrieb:

Mir ist übrigens aufgefallen, dass die Fluchtgeschwindigkeit im Potential ja shapiroverzögert ist, die Berechnungen müssten daher immer einen höheren Wert als den gemäß Newton aufweisen, quasi den blauverschobenen Wert.

Die lokale radiale Fluchtgeschwindigkeit ist die gleiche wie bei Newton, und die verzögerte ist geringer als bei Newton, wie man am Limes des Horizonts sieht ist sie lokal c und shapiroverzögert 0.

Yukterez schrieb:

wie man am Limes des Horizonts sieht ist sie lokal c

Ahja, das liegt daran, weil die Masse lokal ja bereits blauverschoben ist.

Misst man aber aus der Ferne die Masse, dann muss man noch umrechnen, sonst erhält man einen verzögerten Wert. Naja im Prinzip genügt der Wert, wenn man dies berücksichtigt. 

vR' = ²(2m'G/r) lokale Rechnung
vR = ²(2M·G/r)  = ²(2σ·m'G/r) = ²σ·vR'

Shapiroverzögerung wäre es zwar nicht ganz, da fehlt ²σ.