thermodynamisches Gleichgewicht

Ich habe mich immer gefragt, ob die Formeln des thermodynmischen Gleichgewichts mit der Fermidichte bzw dem Pauliprinzip kompatibel sind. Der Vergleich erscheint zunächst kompliziert, weil die Dichte der Thermodynamik auf der Temperatur beruht, während sich die Fermidichte an der Teilchenmasse orientiert. Man kann den Bogen schlagen, indem man die Energie vergleicht.

Zunächst ergibt sich eine noch einfachere Gleichung, indem man die Dichte der Fermi-Dirac Statistik mit dem Teilchenvolumen gemäß der de Broglie Wellenlänge vergleicht. Der "Raumbedarf" ist dann n·V, also
nFD·λB³
Sollte dieser Wert über 1 liegen, dann wäre gar nicht genügend Platz für die berechnete Teilchendichte, naja abgesehen von einer engeren als der hier berücksichtigten kubischen Packungsdichte der vollen Wellenlänge.

Die einfache Rechnung führt (je Freiheitsgrad) zu 
nFD = 6π·ζA(T/c₂)³
λB =  h/(m·γ·v)

Da v ≈ c, sonst wäre es ja kein thermodynamisches Gleichgewicht, ist nur noch γ > 1 von Interesse. Für große γ wird die Ruhemasse unbeachtlich und man erhält c²γ·m = E ≈ kB·T = kT, also
λB = c·h/kT

Somit erhält man
n·λ³ = (6π·ζA)T³/(c·h/kB)³(c·h)³/kT³ = 6π·ζA = 22.65823881697847

Das ist also eine temperaturunabhängige Zahl, natürlich nur im Hochenergiebereich genähert, allerdings deutlich größer als 1, selbst wenn man den Raum mit dem Kugelfaktor optimal ausnutzen würde.

Wie kann das also zusammenpassen?

Die Lösung liegt darin, dass sich in der Thermodynamik zwar die Teilchendichte so ergibt, aber die Teilchen nicht alle die Energie kT haben, sondern gemäß der Wienschen Verteilung also nach der Planckkurve. Verwendet man hingegen die durchschnittliche Energie eines Teilchens, landet man (für Fermionen je Freiheitsgrad) nur bei
E.FD' = w/n = (7/6)E.BE' =  (7/6)π⁴kB·T/30ζA
λB' = c·h(6/7)(30ζA/π⁴kT) = λB·(6/7)(30ζA/π⁴) = 0.31732186723604233λB

Also verkleinert sich das obige Produkt des Raumbedarfs um den Faktor
(λB'/λ³ = 0.31732186723604233³ = 0.031952143905583215
für diesen Raumbedarf V'/V ergibt sich somit eine Belegung von lediglich
22,66·0,032 = 0.7239793073271676

Es ist also genügend Platz, selbst bei kubischer Betrachtung.

Wenn man es noch genauer wissen will, muss man das Dirac Integral über die Planckkurve bilden
∫λ³/E dE = ∫1/E(1+exp.(E/kT)) dE

Dieses Integral von 0 bis ∞ würde divergieren, aber alle Werte E/kT < 1 fallen ja aus dem thermodynamischen Gleichgewicht heraus, sie annihilieren oder frieren aus. Sie wären ohnehin nicht mit λB sondern nur mit der Comptonwellenlänge λC<λB zu berücksichtigen, fallen aber komplett weg. Daher ist nur das Integral von 1 bis ∞ zu bilden und führt zu dem Grenzwert für hohe Temperaturen (kT ≫ c²m) , das Schöne an dimensionslosen Formeln ist, dass sich hier alle Vorfaktoren der Energie E und Temperatur T wegkürzen.
∫⁰⁰₁ (1/(x(1+exp.(x))) dx = 0,1806278
also nochmal deutlich niedriger als die Faustformel mit der mittleren Energie.

Fazit, es gibt keinen Widerspruch zwischen Thermodynamik und Unschärferelation und Pauli Prinzip, was auch kaum vorstellbar wäre, denn dies wurde ja längst von Planck berücksichtigt bzw in die Formel eingebaut, bzw anders herum: aus der Formel herausgelesen.