Mantel M³ einer 4D-Kappe K⁴

Rainer Raisch schrieb:

VH = R³π(2rH/R-sin.(2rH/R)) Hubblevolumen (rH < r)

Ich fürchte, die Formel ist falsch.

Google KI sagt dazu, dass die Formel kompliziert ist und höherer Mathematik bedarf.

Ich habe die Formel wohl von hier (Seite 67 unten)
docsdrive.com/pdfs/ansinet/ajms/2011/66-70.pdf

Er integriert den Horizont 4rkk²π = 4R²cos².(D/R)π mit Kleinkreisradius rkk=R·cos.(D/R) über den Winkel φ/R, das ist dasselbe wie über die Distanz D = φ·R zu integrieren.
www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=4%...2C%7Bd%2C0%2CD%7D%5D
R³π(2D/R-sin.(2D/R))
Für D = π·R ergibt sich die normale Formel der Vollkugel R³π(2π-sin.(2π)) = 2π²R³

Richtig wäre es wohl, über die Höhe h=R(1-cos.(D/R)) zu integrieren
www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=In...%5D%5C%2841%29%7D%5D
4R³sin⁴.(D/2R)(cos.D/R+2)
Für D = π·R ergibt sich allerdings nicht die normale Formel der Vollkugel, sondern 4R³

Beide Formeln sind nicht identisch. Bei der zweiten Methode stehen h und Horizont aufeinander senkrecht. Genau so wird es auch bei der 3D-K² gemacht.
de.wikipedia.org/wiki/Kugelsegment unter Herleitung

Allerdings kann die zweite Formel nicht richtig sein, weil dort die Vollkugel (Vollmantel) nicht stimmt.

Die obere Formel ergibt sich auch aus wiki, wenn man den Wert aus der PDF für I.(3/2; 1/2) in die Formel für "Höherdimensionale" einsetzt.
R³π(2D/R-sin.(2D/R))

Na dann wird  das schon stimmen.

Rainer Raisch schrieb:

Richtig wäre es wohl, über die Höhe h=R(1-cos.(D/R)) zu integrieren

Jetzt habe ich es verstanden.
Die Oberfläche ist gekrümmt, daher ist sie länger als das Integral über h, man muss also über den Kreisbogen (bzw Winkel) integrieren.

Rainer Raisch schrieb:

Ich habe die Formel wohl von hier (Seite 67 unten)
docsdrive.com/pdfs/ansinet/ajms/2011/66-70.pdf

In deiner eigenen Formel sehe ich kein Euler Gamma Γ, aber die Formel aus dem PDF stimmt sicher. Der Mantel der ganzen 4D Kugel ist bekanntlich 2π²r³ und die Hälfte davon 1π²r³, bei der Proberechung mit der Formel aus dem PDF kommt jedenfalls das Richtige heraus:
 

Die Funktion der Mantelfläche zeigt wie man sieht das erwartete Verhalten:

Yukterez schrieb:

In deiner eigenen Formel sehe ich kein Euler Gamma Γ, 

Nein, brauche ich nicht, ich wende ja n=4 an. Die Formel mit der Funktion Gamma gilt für alle Dimensionen, vermutlich auch gebrochene.

Ja die Formel ist sicher richtig, ich hatte mich nur über das Integral gewundert, aber dieses letzlich auch verstanden. Das hat nur etwas gedauert....
Bei wiki wird zwar über h integriert, aber eben nicht der intrinsische Horizont also die extrinsische Kante, sondern eine Funktion f, die wohl die Krümmung selbst beinhaltet. Da finde ich mein Integral des Horizontes über die intrinsische Distanz vom Pol D also den extrinsischen Kreisbogen anschaulicher, wie ich es gemacht habe.

D = φ·R
φ = D/R
V = 4π·∫S.(D) d.D
S = 4a²π = 4π·R²sin².(φ) Horizont

h = R(1-cos.φ)