Von koordinatenabhängiger Variabilität zu dynamischer Raumzeitkrümmung

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Rainer Raisch schrieb:

Mondlicht2 schrieb:

Ein homogenes Gravitationsfeld

Du hast Recht, das habe ich übersehen, DENN:
Das ist ein vollkommen atypischer Sonderfall. (naja es ist die typische Vereinfachung im irdischen Gravitatonsfeld für die meisten Anwendungen)
Wäre es der Normalfall gewesen, hätte Einstein leichtes Spiel gehabt mit der ART.

Es ist die in der theoretischen Physik übliche Reduzierung eines Sachverhalts auf einzelne, mathematisch leicht zu formulierende Komponenten. Bei einer Punktmasse oder einer sehr ausgedehnten Masse spielen z.B. Gezeitenkräfte keine Rolle.

Didaktisch halte ich das eher für einen Flop.

Das sehe ich anders. Beschleunigung ist in der klassischen Physik eine Änderung der Geschwindigkeit. Aber welche Geschwindigkeit hat man denn z.B. an der Erdoberfläche stehend relativ zu welchem Bezugsystem? Man kann jedem Ort die sog. Fluchtgeschwindigkeit zuordnen, identisch mit der Geschwindigkeit, die dort ein aus dem Nullpotential frei fallendes Bezugsystem hat oder hätte. Irgendwo hast du geschrieben Rainer, dass es "zufällig" die Fluchtgeschwindigkeit wäre. An einen Zufall glaube ich da aber nicht.

Im River-Model z.B. wird der Zusammenhang anschaulich. Das Argument, dass das River-Model im Inneren einer massiven Kugel versagt, weil die Beschleunigung g dort wieder abnimmt und im Zentrum 0 ist, zieht nicht wirklich. Die Fluchtgeschwindigkeit nimmt nämlich nicht ab. Der exakte Zusammenhang mit der Fluchtgeschwindigkeit besteht auch im Zentrum z.B. der Erde. Dort ist auch lediglich die Erdbeschleunigung 0, aber es existiert noch eine Zentripetalbeschleunigung in Richtung Sonne, die sich ebenfalls in einem Gravitationsfeld befindet usw.

Lieber Rainer,

ich werde hier dem kontextuellen Faden willens auf deine beiden (endlich 3 Posts) mM. entscheidenden folgenden Posts eingehen..
umwelt-wissenschaft.de/forum/naturwissen...mmung?start=20#14674
gefolgt von..
umwelt-wissenschaft.de/forum/naturwissen...mmung?start=20#14680

Herzlichen Dank für deine Zeit und deine Bewertungen, dein Urteil jedoch, das der  Ansatz sei didaktisch ein ‚Flop‘, trifft mM. weder physikalisch und mathematisch zu. A. unterliegt die Gravitation in der Allgemeinen Relativitätstheorie wegen der fundamentalen Nichtlinearität der Einsteinfeldgleichungen eben nicht der linearen Superposition. Das Addieren von Schwarzschild-Potenzialen einzelner Teilchen funktioniert nur in der Newtonschen Näherung, bildet jedoch nicht die Dynamik der ART ab.

B. ist die Arbeit für den didaktischen Wert der Rindler-Metrik deshalb so interessant (mM. "unverzichtbare Brücke"), weil diese im reinen Minkowski-Vakuum isoliert aufzeigt, dass ortsabhängige Metrikkomponenten und Horizonte allein durch Beschleunigung entstehen können, eben völlig ohne lokale Massendichten T_μν = 0 oder intrinsische Krümmung R_μνρσ = 0

Dies sollte (die Arbeit betreff) ua. auch eventuellen Vorurteilen entgegen wirken, dass eine ortsabhängige Metrik immer eine felderzeugende Massendichte vor Ort voraussetzt.... es misst sich also zB. nicht an den Gezeitenkräften*, sondern am isolierten.. reinen Effekt des beschleunigten Bezugssystems.

Zu Carroll, wie du richtig vermutets chapter 9.

These horizons are reminiscent of the event horizons in the Kruskal diagram, with static observers (r = constant) in Schwarzschild being related to constant-acceleration paths in Rindler space.

und daher* nochmal kurz zu:

Es geht ja hier um die Metri, und da gibt es gravierende unterschiede.

a ist konstant, während g ortsabhängig ist.
a wird als Input generiert, während g von der Metrik erzwungen wird,
a ist in einem bewegten Bezugssystem, wärhend g in einem stationären Bezugssystem wirkt.

Die "Ortsabhängigkeit" von a ist allein die dynamische Distanz zum unbeschleunigten Beobachter, während die Ortsabhängigkeit g beobachterunabhhängig zum Schwerezenturm ist.

Dazu bemühe ich die KI, sodass mein unter Zeitdruck stehendes Gefassel nicht Ellenlang wird und möglichst nichts unverständlich rüberkommt..

• Rainer: „a ist konstant, während g ortsabhängig ist.“
  In der Relativitätstheorie ist die Eigenbeschleunigung a im Rindler-Raum aufgrund der beriets erwähnten Born-Starrheit leider nicht konstant, sondern explizit ortsabhängig (a(x) = 1/x). Eine global konstante Beschleunigung existiert hier mathematisch nicht.
• Rainer: „a wird als Input generiert, während g von der Metrik erzwungen wird.“
  Nach dem Äquivalenzprinzip sind die aus der Beschleunigung resultierenden Metrikkomponenten lokal absolut ununterscheidbar von einem Feld, das durch eine ferne Masse erzwungen wird.
• Rainer: „a ist in einem bewegten Bezugssystem, während g in einem stationären Bezugssystem wirkt.“
  Ein stationärer Beobachter auf einer festen Schwarzschild-Koordinate (r = konstant) befindet sich physikalisch in einem konstant beschleunigten Zustand, da er permanent gegen den freien Fall anarbeiten muss. Stationarität im Gravitationsfeld bedeutet in der ART Beschleunigung.
• Rainer: „Die 'Ortsabhängigkeit' von a ist allein die dynamische Distanz zum unbeschleunigten Beobachter, während die Ortsabhängigkeit g beobachterunabhängig zum Schwerezentrum ist.“
  Das beschreibt exakt die Trennung von Koordinateneffekten und echter Krümmung und begründet damit die Notwendigkeit der didaktischen Brücke, die entsprechende Effekte isoliert, bevor die Komplexität eines Schwerezentrums hinzukommt.

Danke auch für deinen Link, das Video kann ich mir leider erst später reinziehen, da im Moment wieder weltliche Problematiken zu lösen anstehen. Ich hoffe wir kommen nun auf einen gemeinsamen Nenner, bis dahin zumindest!?

HGZ.

Z. schrieb:

Das Addieren von Schwarzschild-Potenzialen einzelner Teilchen funktioniert nur in der Newtonschen Näherung, bildet jedoch nicht die Dynamik der ART ab.

Das ist ein Irrtum, es ist eine 100% exakte Lösung bzw Beschreibung. Mit Dynamik hat das natürlich gar nichts zu tun, es ist eine statische Beschreibung.

Eclipse4 schrieb:

relativ zu welchem Bezugsystem?

Beschleunigung (natürlich die Eigenbeschleunigung b = γ³a) ist absolut, welches IS hättens denn gerne? Das hat nämlich absolut nichts mit der Relativgeschwindigkeit zu tun, γ₁³a₁ = γ₂³a₂ etc für die longitudinale Komponente.

Z. schrieb:

In der Relativitätstheorie ist die Eigenbeschleunigung a im Rindler-Raum aufgrund der beriets erwähnten Born-Starrheit leider nicht konstant, sondern explizit ortsabhängig (a(x) = 1/x). Eine global konstante Beschleunigung existiert hier mathematisch nicht.



 

Auch bei Rindler ist es immer die konstante Eigenbeschleunigung, die mit a in der Formel auftaucht.
Und Rindler hat auch überhaupt nichts mit der Starrheit der Rakete zu tun. Das ist ein ganz anderes Paar Schuhe.

Natürlich kann man die Eigenbeschleunigung variieren, es ist ja ein Parameter. Aber er ändert sich nicht mit 1/x oder so. Frag mal die KI, sie wird Dir bestätigen, dass sie fantasiert hatte. Auch die Koordinatenbeschleunigung a geht natürlich NICHT mit 1/x.
ds² =  -b_lon²x²d.t²/c²+d.r²
KI:
Wenn man die beobachtete Koordinatenbeschleunigung a_obs über die zurückgelegte Entfernung Δ𝑥 (im Inertialsystem) parametrisiert, fällt sie kubisch (mit der dritten Potenz) bezüglich des Abstands ab

Z. schrieb:

g₀₀ = -(1 + α · x)² (Gleichung 5)

(ein 1+ im Linienelement verlegt nur den Ursprung des Koordinantensystems, es hat keinerlei strukturelle Bedeutung)

Rainer Raisch schrieb:

Das hat nämlich absolut nichts mit der Relativgeschwindigkeit zu tun, γ₁³a₁ = γ₂³a₂ etc für die longitudinale Komponente.

Geschwindigkeit ist immer relativ. Dass eine Beschleunigung "absolut nichts" mit einer mit Geschwindigkeit zu tun hat ist in meinen Augen absoluter Unsinn. Was meinst du wie γ in die Formel kommt, so absolut ohne Geschwindigkeit und ohne Bezugsystem?

Eclipse4 schrieb:

Was meinst du wie γ in die Formel kommt,

Siehst Du denn nicht, dass γ vollkommen irrelevant für die Eigenbeschleunigung ist? JEDER Beopbachter misst ein anderes γₙ bei immer derselben Eigenbeschleunigung. γ ist beobachterspezifisch, die Eigenbeschleunigung ist natürlich lorentzinvariant.

Und γ hängt einzig und allein von v ab und NICHT von der Beschleunigung. Selbst das Vorzeichen von v und a ist unabhängig.

Ich komme mir vor wie im Kindergarten.

Rainer Raisch schrieb:

Ich komme mir vor wie im Kindergarten.

Ich inzwischen auch^^.

wikipedia schrieb: In formaler Hinsicht entspricht der Betrag der Eigenbeschleunigung dem Betrag der Viererbeschleunigung und stellt im Minkowski-Diagramm die Krümmung der Weltlinie an einem Raumzeitpunkt dar. Alternativ folgt sie aus der gewöhnlichen Dreierbeschleunigung, wenn sich das zur Beschreibung benutzte Inertialsystem für einen Augenblick mit derselben Geschwindigkeit bewegt wie das beschleunigte Teilchen (momentanes Inertialsystem). Eine gekrümmte Weltlinie entspricht somit einer Abfolge von momentanen Inertialsystemen.

Äquivalenzprinzip, gekrümmte Weltlinie: So stelle ich mir die Krümmung der Raumzeit in der ART vor. Du nicht?

Eclipse4 schrieb:

Äquivalenzprinzip, gekrümmte Weltlinie: So stelle ich mir die Krümmung der Raumzeit in der ART vor. Du nicht?

Nein, ich nicht, eher wie Berg und Tal.
Aber was genau hat das mit γ zu tun?

Rainer Raisch schrieb:

Eclipse4 schrieb:

Was meinst du wie γ in die Formel kommt,

Siehst Du denn nicht, dass γ vollkommen irrelevant für die Eigenbeschleunigung ist?

Rainer Raisch schrieb:

Eclipse4 schrieb:

Äquivalenzprinzip, gekrümmte Weltlinie: So stelle ich mir die Krümmung der Raumzeit in der ART vor. Du nicht?

Nein, ich nicht, eher wie Berg und Tal.

Was das gleiche ist, eben gekrümmt  : "Eine gekrümmte Weltlinie entspricht somit einer Abfolge von momentanen Inertialsystemen".

Rainer Raisch schrieb:

Aber was genau hat das mit γ zu tun?

γ hat mit Geschwindigkeit zu tun, genau wie Beschleunigung. Das ist alles.

Rainer Raisch schrieb:

Z. schrieb:

Das Addieren von Schwarzschild-Potenzialen einzelner Teilchen funktioniert nur in der Newtonschen Näherung, bildet jedoch nicht die Dynamik der ART ab.

Das ist ein Irrtum, es ist eine 100% exakte Lösung bzw Beschreibung. Mit Dynamik hat das natürlich gar nichts zu tun, es ist eine statische Beschreibung.

Da müssen wir leider tiefer Einsteigen. 

Hi Rainer, danke für die Ansicht. Du beziehst dich auf die Klasse der statischen, achsensymmetrischen Weyl-Metriken. Damit hast du mathematisch einen guten Punkt getroffen, aber die physikalische Schlussfolgerung scheint der "Irrtum" zu sein?

Du hast schon recht, dass in zylindrischen Weyl-Koordinaten die Feldgleichung für das Metrikpotenzial ψ zur linearen Laplace-Gleichung Δψ = 0 wird.  (Δ ist hier der flache, dreidimensionale Laplace-Operator in den zylindrischen Hilfskoordinaten ρ, z, ϕ)

In diesem mathematischen Hilfsraum ist die lineare Superposition für diese einzelne Teilfunktion zwar formal exakt zulässig, der "Irrtum" liegt jedoch anscheinend darin, anzunehmen, dass dies eine physikalisch realistische Beschreibung freier Teilchen liefert...

Die verbleibenden Einstein-Gleichungen für die räumliche Metrikkomponente γ sind strikt nichtlinear. Wenn man die Potenziale mehrerer Massen addiert, erzwingt diese Nichtlinearität auf der Symmetrieachse zwischen den Teilchen zwingend konische Singularitäten (sog. Struts). Ohne diese mathematischen Singularitäten, die eine unendliche Spannung tragen, würden die Massen sofort aufeinanderzustürzen. Ein freies, wechselwirkungsfreies Addieren ohne singuläre Störkoeffizienten gibt es in der exakten ART nicht.

Das Weyl-Linienelement lautet:
ds² = -e^(2ψ) dt² + e^(-2ψ) [e^(2γ) (dρ² + dz²) + ρ² dϕ²]

1. Für das Metrikpotenzial gilt linear: Δψ = 0. Hier ist ψ_Gesamt = ψ_A + ψ_B exakt zulässig.
2. Für die räumliche Korrektur gilt jedoch das nichtlineare System:
   • ∂_ρ γ = ρ [ (∂_ρ ψ)² - (∂_z ψ)² ]
   • ∂_z γ = 2 ρ (∂_ρ ψ) (∂_z ψ)
     (dazu drunter nochmal eine Erklärung*)

Weil diese Ableitungen im Quadrat stehen, gilt bei der Summe (ψ_A + ψ_B) unmissverständlich: γ_Gesamt ≠ γ_A + γ_B

Berechnet man γ für zwei getrennte Massen auf der Achse (ρ = 0), wird γ ≠ 0. Das Verhältnis von Kreisumfang zu Radius weicht von 2π ab, es entsteht eine konische Singularität (ein physikalisches Defizit im Vakuum). Will man ein echtes, glattes Vakuum ohne künstliche Haltestrukturen, kollabiert die Statik und das System wird dynamisch...

Fazit:
Deine vermutete mathematische Beobachtung zur Weyl-Metrik ist absolut stimmig, führt aber als physikalische Beschreibung freier Teilchen zu unphysikalischen Singularitäten. Da die exakte ART selbst im statischen Fall nichtlinear interagiert, bleibt der didaktische Übergang über die quellenfreie Rindler-Metrik (T_μν = 0, R_μνρσ = 0) (wie Sean Carroll es in Spacetime and Geometry beschreibt) mM. ein hilfreicher Zwischenschritt für den Übergang zur ART.

GZ.


* Zusatz mathematische Konsistenz bzgl. Integrierbarkeit
Dass dieses System exakt so aufgebaut ist, hat einen tiefen mathematischen Grund. Damit überhaupt eine konsistente Funktion γ existiert, müssen die gemischten Ableitungen identisch sein (∂_z ∂_ρ γ = ∂_ρ ∂_z γ). Differenziert man die obigen Gleichungen, zeigt sich, dass diese Integrabilitäts-Bedingung exakt dann erfüllt ist, wenn für das Metrikpotenzial die Laplace-Gleichung Δψ = 0 gilt. Die mathematische Struktur greift also perfekt ineinander.... sie erzwingt im Fall von zwei getrennten Massen auf der Achse (ρ = 0) am Ende aber zwingend ein γ ≠ 0, was die physikalische Superposition (die Statik freier Teilchen) zerstört.

Lieber Rainer,

umwelt-wissenschaft.de/forum/naturwissen...mmung?start=40#14695

mM. du wirfst hier die Eigenbeschleunigung im Rindler-System und die Koordinatenbeschleunigung im Inertialsystem durcheinander, denke du missverstehst die mathematischen Eigenschaften der von dir geposteten Rindler-Metrik und gegenargumentierst irrtümlicherweise den gegebenen Zusammenhang zur Born-Starrheit. 

Muss leider weg gerne später.
HGZ.

Z. schrieb:

dass dies eine physikalisch realistische Beschreibung freier Teilchen liefert.

Jedes Linienelement liefert eine statische gekrümmte Raumzeit, eine Momentaufnahme.
Damit kannst Du berechnen, wie sich ein Testteilchen bewegen würde.
Das genügt zB für interplanetare Raumfahrt.

Du kannst auch irgend eine Dynamik einbauen, aber nur eine ganz bestimmte. zB "stabile" Orbits. Das klappt beim Zweikörperproblem (iterativ), das Dreikörperproblem kann auf das Zweikörperproblem zurückgeführt werden usw. Bei jedem Schritt vervielfachen sich allerdings die Rechenschritte.

Bisher habe ich Kreisorbits realisiert. Ellipsen dürften genauso gehen. Bei Hyperbeln bin ich mir noch nicht sicher. Das wäre dann die allgemeine Lösung.

Hallo Rainer

es macht echt großen Spass und ich lerne so einiges, die mathematischen Formalismen und Gleichungen betreff, wobei mir das Gros bisher zwar ganz gut bekannt, aber in derer endgültigen Anwendung noch nicht so nahtlos vor Augen waren... Leider geht es faktisch nicht ohne letztere um die Kritiken..., im speziellen deine mM. unverzichtbaren, da diese aus Sicht eines hoch motivierten Anwenders zu Stande kommen,... zu behandeln. (Was ich weniger mit Mathe belasteten Lesern gern erspart hätte...wenn es möglich gewesen wäre).

Bevor ich nun auf die Problematik drüber eingehe, möchte ich nochmals betonen, dass ich jeden einzelnen Schritt, jedes Argument, jede Gleichung, erst dann durchgehen lasse, bis A aus meiner Sicht absolut logisch nachvollziehbare und zudem G... mehrfach auf Konsistenz geprüft wurden. Festzustellen ist, das die KI bzgl. G, teils noch Schwierigkeiten mit den Indizes hat, die zwar in dem Sinne nicht wirklich als falsch zu bewerten sind, aber teils nicht so eindeutig ausfallen (zB. Hoch/Tiefstellungen) um eventuelle Verwechselungen für den Mathe belasteten Leser von vornherein auszuschließen...

Kommen wir zum obigen was mir heute Morgen leider noch nicht möglich.

1. Die Betrachtung bei der Born-Starrheit
Zitat Kommentator: „Und Rindler hat auch überhaupt nichts mit der Starrheit der Rakete zu tun. Das ist ein ganz anderes Paar Schuhe.“

Gegen-Argument.  Wenn man das so sieht, widerspricht das der physikalischen Definition. Das Rindler-Koordinatensystem beschreibt mathematisch die Familie von Beobachtern, die sich genau so bewegen, dass der Eigenabstand zwischen ihnen konstant bleibt. Das ist per Definition die Born-Starrheit in der Relativitätstheorie. Ohne ein Rindler-Bezugssystem gibt es keine mathematische Beschreibung einer Born-starren Rakete.

2. Die Betrachtung bei der Eigenbeschleunigung
Zitat Kommentator: „Auch bei Rindler ist es immer die konstante Eigenbeschleunigung, die mit a in der Formel auftaucht. [...] Natürlich kann man die Eigenbeschleunigung variieren, es ist ja ein Parameter. Aber er ändert sich nicht mit 1/x oder so.“

Gegen-Argument. Hier zeigt sich ein Widerspruch zur geposteten Metrik. Das Linienelement lautet dort:
ds² = -b_lon² x² dt²/c² + dr² (wobei r hier die Ortskoordinate x darstellt).
Berechnet man aus exakt dieser Metrik die Eigenbeschleunigung a_eigen über die Viererbeschleunigung, ergibt sich unweigerlich:
a_eigen(x) = c² / x (bzw. 1/x in natürlichen Einheiten).
Der Hintergrund. Hier wird die zeitliche Konstanz für einen einzelnen Punkt mit der räumlichen Konstanz des gesamten Systems vertauscht. Für ein festes x ist die Beschleunigung über die Zeit konstant. Aber für verschiedene Orte x (Heck vs. Spitze) ist sie explizit ortsabhängig (∝ 1/x), genau wie Z. korrekt schliesst.

3. Das Missverständnis bezüglich des KI-Zitats und der Beschleunigungen
Zitat Kommentator: „Frag mal die KI, sie wird Dir bestätigen, dass sie fantasiert hatte. Auch die Koordinatenbeschleunigung a geht natürlich NICHT mit 1/x.“
Gegen_Argument. Hier wird etwas behauptet, was so nicht vorkamt, während die Begriffe vertauscht werden.

• Z. schrieb: Die Eigenbeschleunigung geht mit 1/x. (Korrekt!)
• Deine KI schrieb: Die Koordinatenbeschleunigung fällt kubisch über den Abstand ab. (Korrekt!)

Wenn man beides in einen Topf wirft und wie vermutet behauptet, die KI hätte einen Bezug zwischen der Koordinatenbeschleunigung und 1/x hergestellt, entspräche das nicht dem vormals gegeben Kontext.

4. Der Beweis für den kubischen Abfall
Schaut man sich den von der KI erwähnten kubischen Abfall der Koordinatenbeschleunigung a_obs im Inertialsystem an, gilt physikalisch:
a_obs = a₀ / γ³
Integriert man das über die Distanz Δx, um die Beschleunigung über den Weg zu parametrisieren, erhält man:
a_obs(Δx) = a₀ / (1 + 2a₀ Δx)^(3/2)
Der Nenner steht hoch 3/2 (was der mathematische Ausdruck für die dritte Potenz der Wurzel, also den kubischen Abfall bezüglich des relativistischen Effekts über die Distanz ist). Es wird hier also exakt die Lehrbuchphysik der SRT wiedergegeben.

Zitat Kommentator: „Auch bei Rindler ist es immer die konstante Eigenbeschleunigung, die mit a in der Formel auftaucht.“
Gegen-Argument. Wenn man hier von einer allgemeingültigen, global konstanten Beschleunigung für das gesamte System ausgeht, liegt womöglich ein physikalischer Denkfehler vor. Eine global konstante Eigenbeschleunigung existiert im Rindler-Raum mathematisch nicht.

Die Konstante a (oder a₀), die in den Standardformeln auftaucht, definiert lediglich die Beschleunigung eines einzigen, spezifischen Referenzbeobachters (meistens im Ursprung oder an der Raketenspitze). Jedes andere Systemteilchen an einem anderen Ort x muss zwingend eine andere Eigenbeschleunigung besitzen. Wenn man versucht, die Beschleunigung a als globalen, für alle Punkte identischen Parameter zu setzen, verlässt das Fundament der Born-Starrheit und beschreibt ein System, das unter mechanischer Spannung steht und letztlich zerreißt.

Fazit:
Wenn man Eigenbeschleunigung (Rindler-System) und Koordinatenbeschleunigung (Inertialsystem) sozus. durcheinanderwirft, werden die mathematischen Eigenschaften der Rindler-Metrik wahrscheinlich missverstanden. Der ansonsten stets gegebene tatsächliche Zusammenhang zur Born-Starrheit kann somit nicht hergestellt werden.

HGZ.

Deine drüber geäusserte Antwort und den Schlussteil deiner vorherigen (denke es war ein Einwand bzgl. Gleichung 5.), habe ich noch nicht auf dem Schirm...aber beides wird nicht vergessen.