homogene Scheibe

Das Thema der Gravitation in der homogenen Scheibe hatten wir ja früher schon ein paarmal:
Galaxien ohne DM-Mond

Ich habe nun eine neue Methode gefunden, die Rechnung zu vereinfachen. Man muss ja über alle Massen summieren bzw über die Dichte integrieren. Der einfache Weg war dabei, das Potential zu berechnen und dann den Gradienten zu bilden. Denn für die unmittelbare Berechnung der Gravitationsbeschleunigung müsste man ja Vektoren addieren. Allerdings ist dies in der symmetrischen Situation der Scheibe besonders einfach, denn es genügt ja die radiale x-Komponente zu berücksichtigen, wenn man nicht auch einen Abstand z von der Äquatorebene berücksichtigen will. Dabei ist diese x-Komponente einfach x/D des Vektors.D¹. Damit ergibt sich aus g = G·M/r² im Prinzip

g = G·(ρ·d)·∫∫ x/D³ dH dB = G·(ρ·d)·∫∫ H/²(H²+B²)³ dH dB
(H = Höhe
B = Breite
D = ²(H²+B²) Distanz
d = Dicke)


Hierbei habe ich festgestellt, dass die Berechnung der Geschwindigkeit vO im stabilen Orbit nicht einfach durch die Formel vO = ²(g·r) bezogen auf das Zentrum der Scheibe berechnet werden darf, denn der Krümmungsradius ist ja auf jeden Massepunkt bezogen. Daher muss die Geschwindigkeit in gleicher Weise per Integral errechnet werden
vO = ²[G·(ρ·d)·∫∫ x·D/D³ dH dB] = ²[G·(ρ·d)·∫∫ H/(H²+B²) dH dB]
Die Rechnung hat hierfür nun einen Kurvenverlauf ergeben
vO² ~ r
vO ~ ²r
Die Winkelgeschwindigkeit wollen wir nun aber schon in Bezug auf das Zentrum der Scheibe wissen:
ω = vO/r ~ 1/²r

Leider habe ich noch keine Möglichkeit gefunden, die Rechnung zu plotten, es war schon schwer genug, Einzelergebnisse zu berechnen. weil WA andauernd die Mitarbeit verweigert.

Ich habe bei der Rechnung den symmetrischen Teil weggelassen, was zu komplizierten Integralgrenzen führt und eine Aufteilung in zwei Integrale erfordert. Hierdurch verschwindet aber in der Regel die Division durch D=0, außer exakt am Scheibenrand r=R.

 g = G·(ρ·d)·∫∫ x/D³ dH dB = G·(ρ·d)·∫∫ H/²(H²+B²)³ dH dB
 vO = ²[G·(ρ·d)·∫∫ x·D/D³ dH dB] = ²[G·(ρ·d)·∫∫ H/(H²+B²) dH dB]

Das Schöne ist nun, dass man die inneren Integrale auflösen kann.

g/(G·ρ·d) = ∫∫ H/²(H²+B²)³ dH dB = ∫ -1/²(H²+B²) dB = -∫1/²(H₂²+B²)-1/²(H₁²+B²) dB = -∫1/²((r+²(1-B²))²+B²)-1/²((r-²(1-B²))²+B²) dB
vO²/(G·ρ·d) = ∫∫ H/(H²+B²) dH dB = ∫-ln.(H²+B²)/2 dB = -∫ ln.(H₂²+B²)-ln.(H₁²+B²) dB/2  = -∫ ln.((r+²(1-B²))²+B²)-ln.((r-²(1-B²))²+B²) dB/2
vO = ²((G·ρ·d) ∫ ln.((r-²(1-B²))²+B²) - ln.((r+²(1-B²))²+B²) dB/2)
Leider plottet WA das nicht für mich, sondern berechnet wieder nur Einzelergebnisse für explizite Werte von r. Aber das Ergebnis lautet

vO = ²(G·ρ·d·r·π/R)

 

Rainer Raisch schrieb:

Das Thema der Gravitation in der homogenen Scheibe hatten wir ja früher schon ein paarmal:

In dem Link wird es nur nebenbei angeschnitten, aber irgendwo hatten wir auch einen richtigen Faden mit Bildern. Da ich den auf die Schnelle aber auch nicht mehr finde hier das gravitative Feld einer homogenen Scheibe und ein Orbit drumherum:

[/img]

[/img]

Rainer Raisch schrieb:

Ich habe nun eine neue Methode gefunden, die Rechnung zu vereinfachen.

Die Skizze die du unter deiner Rechnung hast ist auf jeden Fall sehr kompliziert.
 

Rainer Raisch schrieb:

Hierbei habe ich festgestellt, dass die Berechnung der Geschwindigkeit vO im stabilen Orbit nicht einfach durch die Formel vO = ²(g·r) bezogen auf das Zentrum der Scheibe berechnet werden darf, denn der Krümmungsradius ist ja auf jeden Massepunkt bezogen.

Doch, sowohl außerhalb als auch innerhalb der Scheibe ist die Kreisbahngeschwindigkeit um dieselbe v=√(r·∇V)=√(r·g) wobei groß V hier für das Potential, r für den radialen Abstand des Testpartikels vom Zentrum der Scheibe und g für die Schwerkraft die ein stationärer Partikel dort spüren würde steht, ich habe es für beide Fälle gerade mit dem Simulator getestet. Das g und damit auch das v bei einer Scheibe ist zwar anders als bei einer Kugel, aber nichtsdestotrotz.

Yukterez schrieb:

aber irgendwo hatten wir auch einen richtigen Faden mit Bildern.

Du meinst den hier
Gravitation in einer Scheibe
mit Verweis auf notizblock.yukterez.net/viewtopic.php?t=119

Yukterez schrieb:

Die Skizze die du unter deiner Rechnung hast ist auf jeden Fall sehr kompliziert.

Da habe ich mir die Arbeit selber schwer gemacht, ich dachte, das vereinfacht die Formel im Endeffekt. Hier habe ich ja dann nur mit der ganzen Fläche am Stück gerechnet und ln(0) kürzt sich wunderbar weg.

Yukterez schrieb:

Doch, sowohl außerhalb als auch innerhalb der Scheibe ist die Kreisbahngeschwindigkeit um dieselbe v=√(r·∇V)=√(r·g) wobei groß V hier für das Potential, r für den radialen Abstand des Testpartikels vom Zentrum der Scheibe und g für die Schwerkraft die ein stationärer Partikel dort spüren würde steht, ich habe es für beide Fälle gerade mit dem Simulator getestet.

Ja stimmt, bei meiner Rechnung habe ich einfach v = √-Φ = √(-ΣΦ) = √Σ(g·r) unterstellt. Das gilt allerdings nur bei der Punkt-/Kugelmasse (∇Φ=Φ/r).
Mein lineares v²~r entspräche also Φ~r. Das stimmt aber nicht, denn für g habe ich ja nur gₓ berücksichtigt, und gₓr < g·r. Das ist ja der Unterschied von gtt ≠ -1/grr in der Inneren Lösung.

Wie sieht denn mein neues g im Vergleich zum bisherigen g aus?
g/(G·ρ·d) = ∫-1/√((r+√(1-B²))²+B²)+1/√((r-√(1-B²))²+B²) dB

Es scheint von meiner damaligen Rechnung mit den Elliptischen Integralen abzuweichen, aber mein Plotter berechnet die Elliptischen Integrale manchmal falsch, oder ich verwende diese vielleicht falsch.

Ist es nicht so, dass sich mit der Zeit bevorzugt ein gerader Balken beim Zentrum der Scheibe bildet? Auffallend viele Galaxien haben so einen Balken. Oder ist das eine ganz andere Baustelle?

Steinzeit-Astronom schrieb:

Oder ist das eine ganz andere Baustelle?

Ein Balken ist hier nicht die Fragestellung.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Ist es nicht so, dass sich mit der Zeit bevorzugt ein gerader Balken beim Zentrum der Scheibe bildet?

Man geht davon aus, dass sich Balkengalaxien in Spiralgalaxien verwandeln und wieder zurück, wenn ich mich recht erinnere.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Ist es nicht so, dass sich mit der Zeit bevorzugt ein gerader Balken beim Zentrum der Scheibe bildet? Auffallend viele Galaxien haben so einen Balken.

Wenn das passiert dann deswegen weil die ganzen Sterne sich in Wahrheit gar nicht auf perfekten äquatorialen Kreisorbits befinden, sondern auf starken Ellipsen. Balken und Spiralarme sind eine Art von Ordnung die sich aus dem Chaos bildet. Die Sterne die sich gerade in einem Balken oder Spiralarm befinden sind nur temporär dort drin, das sind Bereiche höherer Dichte in die man hinein- und wieder hinausfliegt.

Rainer Raisch schrieb:

mein Plotter berechnet die Elliptischen Integrale manchmal falsch, oder ich verwende diese vielleicht falsch.

Da musst du darauf schauen ob dein Programm die Funktionen im Stil von Abramowitz & Stegun (Mathematica, Mupad, Maxima) oder von Gradshteyn & Ryzhik (Maple und noch ein paar andere) definiert, die unterscheiden sich vor allem darin dass das Argument entweder normal oder quadriert einfließt (bzw. gewurzelt wenn man aus der anderen Richtung kommt) und in welcher Reihenfolge man die Argumente eingibt wenn es mehrere davon gibt. Da muss man vorher sicherheitshalber in der Dokumentation nachschauen, z.B. indem man den Reiter Details aufklappt (die Syntax von deinem Wolframalpha und meinem Mathematica ist zwar nicht ganz die gleiche, aber die Definitionen der Funktionen sind die selben).

Yukterez schrieb:

Da muss man vorher sicherheitshalber in der Dokumentation nachschauen

Ja ich weiß inzwischen, dass mein Plotter die Konvention (k) benutzt, im Gegensatz zu WA mit (m). Aber bevor ich die damals eingegebene Formel überprüfe, wäre es wohl einfacher, wenn Du beides unmittelbar vergleichst, nachdem ich gar nicht sicher weiß, welche Konvention Du für die Lösung verwendet hast. Ich meine zwar, dass ich das damals schon richtig gemacht habe, aber ich misstraue meinem Plotter dabei inzwischen sowieso. Dies kann aber auch an komplexen Zahlen liegen, mit denen er nicht umgehen kann. Das ist halt nur ein sehr handliches Programm.

Rainer Raisch schrieb:

Aber bevor ich die damals eingegebene Formel überprüfe, wäre es wohl einfacher, wenn Du beides unmittelbar vergleichst

Das kann ich schon machen wenn du dein explizites v hinschreibst, die letzte Formel dafür hast du im der Zwischenzeit ja durchgestrichen, daher frag ich lieber nach bevor ich etwas plotte das gar nicht mehr aktuell ist. Verstehe ich die Aufgabenstellung dass du die Bewegungsgleichungen auf einen Kreisorbit in der äquatorialen Ebene reduzieren willst damit die Rechnung einfacher wird richtig? Und ist die Höhe deiner Scheibe signifikant oder willst du die in Wahrheit eh vernachlässigen und führst sie nur damit man ein Volumen hat um aus der Dichte eine Masse zu erhalten ein?

Yukterez schrieb:

Das kann ich schon machen wenn du dein explizites v hinschreibst

Ich fürchte, das wird vorerst nichts.
Aber mein g würde mich interessieren.

Rainer Raisch schrieb:

nachdem ich gar nicht sicher weiß, welche Konvention Du für die Lösung verwendet hast.

Die stehen aber eh unter "Definitionen der benötigten Funktionen und elliptischen Integrale"  auf meiner Seite.  Auf der Wolfram Seite findet man zu jedem Integral auch gleich die anderen Definitionen damit man von einer Konvention in die andere übersetzen kann.
 

Rainer Raisch schrieb:

Aber mein g würde mich interessieren.

Da verstehe ich die Variablen leider nicht: in deiner Beschreibung ist B die Breite, aber in deinem Diagramm ist es die halbe Höhe die in der analytischen thin disk solution die ich kenne und die du wahrscheinlich vereinfachen willst gar nicht einfließt. Dein kleines d das du als Dicke bezeichnest und was wohl noch am ehesten nach der Höhe klingt ist am Diagramm gar nicht eingezeichnet, da müsste ich also raten was jetzt wirklich was ist.

Ich kann dir aber den Plot für g (wenn du auf der äquatorialen Ebene bleibst interessiert dich die rote Kurve, g ist am Rand der Scheibe am stärksten) und zwei Zahlenbeispiele für einen Testpartikel innerhalb und einen außerhalb der Scheibe geben, einzelne Zahlenwerte kannst du dir so wie ich das verstanden habe eh ausgeben lassen, die musst du dann halt selbst mit meinen vergleichen. Der Testpartikel ist äquatorial auf r, der Scheibenradius я=1:

Yukterez schrieb:

r=0,5 → g=1,74631

Das stimmt überein, das hatten wir ja schonmal verglichen.
g(.5) = 1,74628
In der Mail von 7.8. hatte ich im Diagramm "g" jeweils die halben Werte für r = 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9 und 0.999 eingetragen.

Jetzt habe ich auch meine Formel mit den Elliptischen Integralen von damals korrigiert, das war die falsche Konvention, aber es fehlte auch ein Faktor.... hier und da.

Yukterez schrieb:

Da verstehe ich die Variablen leider nicht:

Du brauchst das Integral nur in den Grenzen von -1 < B < 1 integrieren (oder von 0 bis 1 mal 2). 0 < r < 1 ist die Position in der Scheibe. Der Rest (G·ρ·d) wird gleich 1 gesetzt.
g/(G·ρ·d) = ∫-1/√((r+√(1-B²))²+B²)+1/√((r-√(1-B²))²+B²) dB
Aber soweit ich sehe, stimmt alles exakt überein.

Naja, wenn g feststeht, und ein Orbit um einen Punkt geflogen werden soll, ist es schon logisch, dass vO = ²(g·r) sein muss, ganz egal, wo die Masse ist.
 

Rainer Raisch schrieb:

∫-1/√((r+√(1-B²))²+B²)+1/√((r-√(1-B²))²+B²) dB
Aber soweit ich sehe, stimmt alles exakt überein.

Das ist bis auf die letzte Kommastelle gleich, allerdings muss man deine Formel numerisch integrieren während sich die elliptischen Integrale so wie ein Sinus oder Cosinus ohne viel Aufwand beliebig genau evaluieren lassen, die sind also die analytische Lösung davon.

Wunderbar. Ich hatte gehofft, dass man mein neues Integral noch anders analytisch lösen könnte.

Übrigens Dein ρ ist ja die Flächendichte α = M/R²π = ρ·d mit der Scheibendicke d (z-Achse).

@Yukterez:
Es gibt eine einfachere (gekürzte) Formel
g = 4G·α·(K(r²/R²)-E(r²/R²))R/r
Formel (9)

Die dortige Formel (1) gibt bei mir allerdings andere Ergebnisse.

Rainer Raisch schrieb:

Es gibt eine einfachere (gekürzte) Formel
g = 4G·α·(K(r²/R²)-E(r²/R²))R/r

Das schaut nur auf den ersten Blick einfacher aus, aber wenn man sich E und K genau anschaut sind das ja selbst die ärgsten Integrale.

Yukterez schrieb:

Das schaut nur auf den ersten Blick einfacher aus, aber wenn man sich E und K genau anschaut sind das ja selbst die ärgsten Integrale.

Naja das schon, aber E und K hast Du ja auch, es geht natürlich nur um den Rest der Formel

Rainer Raisch schrieb:

Die dortige Formel (1) gibt bei mir allerdings andere Ergebnisse.

Dies liegt an einem Kopierfehler vom Original, beim Kopieren wurde unter der Wurzel sin² statt cos² verwendet.