Summe-Differenz-Produkt-Quotient

In der Mathematik sind die Summe Σ.a=a₁+a₂, die Differenz Δ.a=a₂-a₁ und das Produkt Π.a=a₁·a₂ alt bekannt, ich habe dies durch den Quotienten Ϙ.a=a₂/a₁ ergänzt.

Es fällt auf, dass Summe und Produkt für beliebig lange Reihen anwendbar sind, während die Differenz üblich nur auf Wertepaare angewendet wird, auch beim Quotienten scheint es schwer zu fallen, diese Funktion auf eine Wertereihe anzuwenden.

Ich habe mir eine Erweiterung für die Differenz überlegt:
Δn(fn(x)) = [((a₂-a₁)-(a₃-a₂))-((a₃-a₂)-(a₄-a₃)) - ((a₃-a₂)-(a₄-a₃))-((a₄-a₃)-(a₅-a₄))] - ... = -a₁-a₅+4a₂+4a₄-6a₃ ...
mit jedem Glied der Reihe verdoppeln sich also die Aggregatsglieder N=2^(n-1), und es stellt sich die Frage nach einer Formel für die Koeffizienten (Vorfaktoren).

Beim Quotienten wäre das Analogon
Ϙn(fn(x)) = [((a₂/a₁)/(a₃/a₂))/((a₃/a₂)/(a₄/a₃)) / ((a₃/a₂)/(a₄/a₃))/((a₄/a₃)/(a₅/a₃))] / ... = a₂⁴·a₄⁴/(a₁·a₅·a₃⁶) ...
Hier tritt der Koeffizient als Exponent in Erscheinung.

Weiterhin stellt sich die Frage nach einer nutzvollen Anwendung, wobei ich davon ausgehe, dass diese Differenzbildung der Differenzierung (mit Gewichtung im Zentrum der Reihe) nahekommt. Beim Quotienten habe ich mir bisher noch keine Gedanken gemacht. Auch für Π gibt es ja kein Analogon wie etwa das Integral für Σ.

Rainer Raisch schrieb:

Es fällt auf, dass Summe und Produkt für beliebig lange Reihen anwendbar sind, während die Differenz üblich nur auf Wertepaare angewendet wird

Die Differenz ist auch nur eine Summe. Es werden halt negative Zahlen summiert und so kann man problemlos beliebig lange Reihen summieren. Das Vorzeichen gibt lediglich die Richtung auf dem Zahlenstrang an, in die man dabei fortschreitet.

Interessant ist, dass man für das Produkt eine Einheit aus dem Hut zaubern muss, damit es überhaupt einen Sin ergibt. Addieren kann man einfach nur Zahlen, und kommt so von einer Zahl zur nächsten. Beim Multiplizieren muss man aber eine Eins voraussetzen, die nicht bloß eine Zahl (ein Punkt) auf dem Zahlenstrang ist, sondern ein Abstand bzw. eine Länge zwischen zwei Zahlen.

Interessant auch, dass man für die Quadratwurzel immer zwei Lösungen bekommt, eine positive und eine negative. In Rechenaufgaben wird dann meistens die negative Lösung verworfen, wenn man z.B. die Länge der Hypothenuse im rechtwinkligen Dreieck berechnet, weil die ja anschaulich nicht negativ sein kann. So ganz stimmt das aber nicht: Da das Vorzeichen eine Richtung angibt, hat die Hypothenuse vom einen Ende aus gemessen die Länge c und vom anderen Ende aus die Länge -c. Man interessiert sich halt nur für den Betrag der Länge und nicht für die Richtung, aber eigentlich kann die Länge schon negativ sein. In der Schule gibt's jedenfalls Punktabzug, wenn man die negative Lösung nicht wenigstens erwähnt.

Ich bekam sogar mal Abzug, weil ich in einer sonst korrekt gelösten Aufgabe den Definitionsbereich der berechneten Variablen nicht angegeben hatte. Da hätte ich z.B. zu Beginn gleich D = ℝ notieren sollen, wie dieser Pedant von Lehrer meinte. Dabei war das doch selbstverständlich, nachdem wir jahrelang mit nichts anderem als mit reellen Zahlen gerechnet hatten.

Interessant auch, dass man die Richtung und somit die Ordnung der Zahlen irgendwie verliert, wenn man die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen will, was nur mit komplexen Zahlen geht, wo die Zahlen dann nicht mehr geordnet sind: Man kann nicht sagen, dass eine komplexe Zahl größer oder kleiner als eine andere ist...

Steinzeit-Astronom schrieb:

Die Differenz ist auch nur eine Summe. Es werden halt negative Zahlen summiert und so kann man problemlos beliebig lange Reihen summieren.

Nein, ganz so einfach ist das nicht. Die Differenz Δ behandelt die beiden Parameter ungleich. Der erste wird negativ behandelt und der zweite positiv. Das kann man nicht "einfach" auf eine längere Reihe extrapolieren. Meine Lösung ist ja auch ganz anders. Hier wird immer der erste Parameter von zwei Folgeparametern im Verlauf der Reihe negativ und der zweite positiv behandelt, wie es sich für ein ordentliches Δ eben gehört.

Klar ginge dies auch einfacher, zB
a₂-a₁+a₄-a₃....
aber dies halte ich für zu trivial für ein "eigenes" Symbol. Dafür genügt Δ(Σ₂ₐ)

Tatsächlich wende ich Δn schon immer auf komplizierte Reihen an, wenn ich das nächste unbekannte Folgeglied suche. Die Idee des Formelzeichens für den Formalismus entstand viel später.

Rainer Raisch schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

Die Differenz ist auch nur eine Summe. Es werden halt negative Zahlen summiert und so kann man problemlos beliebig lange Reihen summieren.

Nein, ganz so einfach ist das nicht. Die Differenz Δ behandelt die beiden Parameter ungleich. Der erste wird negativ behandelt und der zweite positiv. Das kann man nicht "einfach" auf eine längere Reihe extrapolieren. 

Man kann doch die Differenzbildung einfach als Addition zweier Zahlen auffassen.
Also a₁-a₂ = a₁+(-a₂) = -a₂+a₁.

Dabei sind a₁ und -a₂ einfach zwei Elemente aus der zugrundeliegenden Zahlenmenge, verknüpft durch Addition, was wieder ein Element derselben Menge ergibt. Das Vorzeichen "-" ist dann Bestandteil der addierten Zahl und keine Verknüpfung. Die Grundmenge muss natürlich bzgl. der Subtraktion abgeschlossen sein (mindestens ℤ).

Wenn du mit der Differenz Δ nur den Betrag meinst und nicht das ggf. negative Ergebnis, dann ist es wohl etwas anderes.

Rainer Raisch schrieb:

Ich habe mir eine Erweiterung für die Differenz überlegt:
Δn(fn(x)) = [((a₂-a₁)-(a₃-a₂))-((a₃-a₂)-(a₄-a₃)) - ((a₃-a₂)-(a₄-a₃))-((a₄-a₃)-(a₅-a₄))] - ... = -a₁-a₅+4a₂+4a₄-6a₃ ...
mit jedem Glied der Reihe verdoppeln sich also die Aggregatsglieder N=2^(n-1), und es stellt sich die Frage nach einer Formel für die Koeffizienten (Vorfaktoren).

Die Vorfaktoren 1,4,6,4,1 für die 5 Zahlen a₁...a₅ sehen verdächtig nach den Binomialkoeffizienten der 5. Zeile im Pascalschen Dreieck aus. (Bild von  wikipedia )

Steinzeit-Astronom schrieb:

Die Vorfaktoren 1,4,6,4,1 für die 5 Zahlen a₁...a₅ sehen verdächtig nach den Binomialkoeffizienten der 5. Zeile im Pascalschen Dreieck aus.

Ich denke auch, dass es nichts anderes ist, hatte aber bisher wenig Lust, es zu überprüfen.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Man kann doch die Differenzbildung einfach als Addition zweier Zahlen auffassen.

 

Natürlich, es fragt sich halt nur, was eine sinnvolle Anwendung für eine neue Funktion ist, bei der EINE Differenz über eine Reihe von Zahlen gebildet wird. Wie bereits angedeutet, ist die Ableitung dy/dx ein Hinweis für eine sinnvolle Anwendung, ähnlich wie Σ ~ ∫y(x) dx.