Magische Zahlen für FCC und HCP Kristallgittern

Ich habe die Pause hier genutzt um mir die Dichteste Kugelpackungen für FCC und HCP in Kugel form anzuschauen.  

dachte es gibt da Animationen oder Bilder der einzelnen Schalen und Layern, aber dem war nicht so. 

Das was ich anfängst gefunden habe waren die drei blau hinterlegten Bilder bei Wiki:

commons.wikimedia.org/wiki/Category:High...e_packing?uselang=de

Also habe ich mir das was ich suche selber gemacht. Problem gelöst. Nur habe ich dann festgestellt das es für die Berechnung der Vollen Schalen zwar für FCC eine Formel gibt:

N(k) = (10k^3 + 15k^2 + 11k + 3) / 3

aber nicht für HCP.

für HCP habe ich folgende Magische Zahlen gefunden:

const MAGISCHE_ZAHLEN_HCP = [
  1,     // k = 0
  13,    // k = 1
  57,    // k = 2
  153,   // k = 3
  325,   // k = 4
  597,   // k = 5
  993,   // k = 6
  1537,  // k = 7
  2257,  // k = 8
  3181   // k = 9
];

Jetzt werden einige sagen K=9 ist ausreichend aber 3181 Kugeln sind mit 141 Layern abgedeckt, mein Datensatz für HCP beträgt aber 2733 Layer. Irgendwas mit über 250000 kugeln. 

in FCC habe ich 41 Vollständige Schalen mit 1115 Layern.

Es werden von mir aber nicht nur die Magischen zahlen für HCP über K=9 gesucht sondern ich möchte auch die Genauigkeit der  nicht berechenbaren Bekanntenwerte diskutieren. Aus meinen Daten mit den gegebenen Magischen zahlen würde ich folgende Anpassung aus Symmetriegründen vorschlagen.

// Symmetrie Version
const MAGISCHE_ZAHLEN_HCP = [
1, // k = 0
13, // k = 1
57, // k = 2
153, // k = 3
323, // k = 4
599, // k = 5
991, // k = 6
1537, // k = 7
2259, // k = 8
3183 // k = 9
];

Bin auf eure Meinungen Gespannt und hoffe das ihr mir weiter helfen könnt.


EDIT:

Links oder Informationen zum Mackay-Ikosaeder sind auch gerne gesehen (am einfachsten auf Deutsch) .
 

Bei dichteste Kugelpackungen habe ich in wikipedia folgendes gefunden:

Die hexagonal dichteste Kugelpackung (hcp (engl. hexagonal close-packed), Schichtfolge ABABAB…) wird auch  Magnesium -Typ genannt. Es kristallisieren  Beryllium , Magnesium, die Elemente der Gruppe 3 ( Scandium ,  Yttrium ,  Lanthan ) und die Gruppe 4 ( Titan ,  Zirconium ,  Hafnium ),  Technetium ,  Rhenium ,  Ruthenium ,  Cobalt ,  Zink ,  Cadmium  und  Thallium  in diesem Strukturtyp.

Die kubisch dichteste Kugelpackung (ccp (engl. cubic closed packed), Schichtfolge ABCABC…) wird auch  Kupfer -Typ genannt. Neben Kupfer kristallisieren  Calcium ,  Strontium ,  Nickel ,  Rhodium ,  Iridium ,  Palladium ,  Platin ,  Silber ,  Gold ,  Aluminium  und  Blei  in diesem Strukturtyp.

Aber was sind in dem Zusammenhang magische Zahlen?

auf  de.wikipedia.org/wiki/Kubisches_Kristallsystem#Bravaisgitter  steht:

noch zur ergänzung:

• das primitive Gitter (sc für simple cubic)
• das raum- oder innenzentrierte Gitter (krz bzw. bcc für body centered cubic)
• das flächenzentrierte Gitter (kfz bzw. fcc für face centered cubic).

Magische zahlen sind stabile Anordnungen von Partikeln deren Oberfläche von einer vollen schale erstellt wird.

Um eine Kugel können 12 sogenante Kissing Kugeln platziert werden. Dieses Gebilde aus 13 Kugeln ist sehr stabil. Die 13 ist auf jeden fall eine Magische zahl.

 

FabsOtX schrieb:

aber nicht für HCP.

Mit diskreten Schalen kann ich nicht dienen, sondern nur mit diesen Dichten.

n = π/²18 = 0,7404804896930610411693134983434 HCP-Dichte
n₁ = π/6 = 0,52359877559829887307710723054658 kubisch primitive Elementarzelle

Rainer Raisch schrieb:

n = π/²18 = 0,7404804896930610411693134983434 HCP-Dichte

Der Wert gilt auch für FCC aber die anerkannte Berechnung für FCC und HCP ist n = π / (3 * √2).

Rainer Raisch schrieb:

n₁ = π/6 = 0,52359877559829887307710723054658 kubisch primitive Elementarzelle

Kurzbeschreibung: SC

Meine Daten für FCC und HCP stellen je ein Kugel Hüllvolumen mit einem Radius von 35 Einheiten da. Der Partikelradius beträgt 0,5 Einheiten.
Die Darstellung ist Statisch und Kräftefrei. 

Bei FCC zeigen die Daten, für die 41 vollständigen Schalen, die Stärke und die Überlagerungen in den Grenzbereichen für jede Einzelne Schale.

Es Wurmt mich das es für HCP nur 10 sind.
 

FabsOtX schrieb:

Vollen Schalen zwar für FCC eine Formel gibt:

N(k) = (10k^3 + 15k^2 + 11k + 3) / 3

aber nicht für HCP.

 

Die Formel muss ja dieselbe sein. Die Strukturen sind ja gleich und nur teils in der Ebene gespiegelt.
Es ergibt sich ja auch keine regelmäßige Kugel, sondern eine leicht gestauchte Form, das ist bei beiden aber gleich.

Deine Magischen Zahlen beziehen sich nicht auf die Schalen-Volumen, sondern auf das Gesamt-Volumen.

Deine Formel liefert andere Zahlen als Deine Liste.

Eine Kugelformel erfordert ersteinmal eine Definition der Schalen. Vermutlich orientierst Du Dich am Mittelpunkt der Kugeln in der Ebene. Oder etwa auch in der Höhe, also ohne Stauchung?

In der Ebene ergeben sich die Schalen ja einfach zu je 6N Kugeln. bzw in der Ebene sind es dann N·6+1 Kugeln. Aber Du willst diese regelmäßigen Schalen wohl aufteilen.

In vereinfachtem Hexagon:


 

FabsOtX schrieb:

Also habe ich mir das was ich suche selber gemacht. Problem gelöst.

Darf man denn erfahren was du suchst? Anscheinend ist dein Problem ja doch nicht gelöst.

FabsOtX schrieb:

Nur habe ich dann festgestellt das es für die Berechnung der Vollen Schalen zwar für FCC eine Formel gibt:
N(k) = (10k^3 + 15k^2 + 11k + 3) / 3
aber nicht für HCP.
für HCP habe ich folgende Magische Zahlen gefunden: [...]

Welche Schalen? Was ist FCC? Was ist HCP? Was ist k?
Wenn du Hilfe suchst, sollte du mal erklären, wovon du überhaupt redest, so dass es auch jemand verstehen kann, der nicht bei PacMan in die Lehre gegangen ist. 

Rainer Raisch schrieb:

Die Formel muss ja dieselbe sein. Die Strukturen sind ja gleich und nur teils in der Ebene gespiegelt.

 

Ja Rainer so naiv war ich anfangs auch, weil ich das auch so gelernt habe. Aber leider gelten diese aussagen nur für "ideale, unendliche Gitter" da wir hier aber von begrenzenten Gittern reden, ist das leider so falsch. In Unendlichen Gittern gibt es keine Oberflächenenergien diese Spielen aber bei begrenzen Gittern eine Große rolle.

die Formel gilt nur für FCC und hat die Anfangswerte  1, 13, 55, 147, 309, 561.....

wie bereits gesagt unterschiedlich zu HCP.
 

Steinzeit-Astronom schrieb:

FabsOtX schrieb:

Also habe ich mir das was ich suche selber gemacht. Problem gelöst.

Darf man denn erfahren was du suchst? Anscheinend ist dein Problem ja doch nicht gelöst.


 

Naja zu erst wollte ich eigentlich nur sehen wie sich FCC und HCP in Schalen und Layern um eine mittel Kugel anordnen.
dazu wollte ich mir die einzelnen layer anschauen und habe diese Gesucht.

auf wiki:
de.wikipedia.org/wiki/Dichteste_Kugelpackung
findest du unten einen Link zu Bildern: Commons: Dichteste Kugelpackung .....
commons.wikimedia.org/wiki/Category:High...e_packing?uselang=de

hier habe ich genau 3 Bilder gefunden (die drei mit dem Blauen hintergrund) das war mir zu wenig deshalb habe ich es selber gemacht.
für FCC habe ich jetzt 1115 dieser Bilder und für HCP habe ich 2733 dieser Bilder. (Bilden je eine Hüllkugel mit 35 Einheiten Radius)

damit war diese Problem gelöst.

Steinzeit-Astronom schrieb:

FabsOtX schrieb:

Nur habe ich dann festgestellt das es für die Berechnung der Vollen Schalen zwar für FCC eine Formel gibt:
N(k) = (10k^3 + 15k^2 + 11k + 3) / 3
aber nicht für HCP.
für HCP habe ich folgende Magische Zahlen gefunden: [...]

Welche Schalen? Was ist FCC? Was ist HCP? Was ist k?
Wenn du Hilfe suchst, sollte du mal erklären, wovon du überhaupt redest, so dass es auch jemand verstehen kann, der nicht bei PacMan in die Lehre gegangen ist. 

Ich wollte eigentlich weiterführende Hilfe haben keine leisten.

wie Clauss es oben schon richtig bemerkt hat, geht es um Dichteste Kugelpackungen. davon gibt es einige. aber nur zwei davon erreichen die höchste Dichte von 74%. Die zwei arten kugeln zu packen sind die HCP Packung und aus dem Bereich der CCP ist es die FCC Packung.

Das k in der Formel steht für die Anzahl der Schalen und das Ergebnis der Formel sagt dir wieviel Atome der kern besitzt.

k = 0 => N(k) = 1 es existiert keine Schale um die einzelne mittel Kugel.
k = 1 => N(k) = 13 es existiert eine Schale aus 12 Kissing Kugeln um die zentrale Kugel.
k = 2 => N(k) = 55 es existiert eine Zweite Schale mit 42 Kugeln um die erste Schale und die mittel Kugel herum.
und so weiter.

Wenn HCP die hexagonale Packung sein soll, von der Rainer eine Lage gezeichnet hat, dann würde ich die als große Ebenen übereinander legen und einen Würfel rausschneiden. Die Anzahl Kugeln im Würfel sollte leicht zu berechnen sein.
Dann muss man nur an den Ecken noch ein paar Kugeln wegnehmen, und fertig ist das einigermaßen runde, symmetrische Ding mit sechseckigen Seitenflächen. Dichter geht's ohnehin nicht.

FCC  
k = 0 => N(k) = 1         1 Kugel   <>   1 Layer
k = 1 => N(k) = 13       12 kugeln  <>   1 Layer
k = 2 => N(k) = 55       42 Kugeln <>   3 Layer  (6, 24,12)  Oberflächenradius 2,0000 Einheiten

HCP
k = 0 => N(k) = 1         1 Kugel   <>   1 Layer
k = 1 => N(k) = 13       12 kugeln  <>   1 Layer
k = 2 => N(k) = 57       44 Kugeln <>   5 Layer  (6, 2,18, 12, 6)  Oberflächenradius 2,0000 Einheiten

Ich habe die daten x, y ,z, radiusToCenter, Phi, Theta, für jedes einzelne Atom bis zu einem Oberflächenradius von 35,0000 Einheiten.
Ich habe für jeden Layer die Anzahl der Atome und die Position. In FCC kann ich 41 Vollständige Schalen und noch ein paar von 42 abbilden (1115 Layer).

Für HCP fehlen mir die Magischen zahlen um die Layer richtig Gruppieren zu können (habe 141 von 2733 Gruppiert).

Ich habe Threejs Animationen mit denen ich mir alles schön anschauen kann und auf Knopfdruck kann ich Bilder erstellen und runter laden.

Ich habe auch ein Programm mit dem ich die layer manuell hinzufügen und entfernen kann um die schalen zu gruppieren und das in einer json zu speichern. Aber selbst die Manuelle (Optische) layer Zuweisung wird bei großen Radien sehr schwer.

Diese daten hier stammen aus meiner Version 2 (Oberflächenradius bis 35 Einheiten), die erste Version ging bis Oberflächenradius 10 Einheiten.
Daraus wollte ich mir einen Katalog erstellen und ausdrucken.  Strg+P  aus dem Browser heraus hat ca. 1 minute gebraucht um das PDF mit 618 DIN A4 Seiten zu erstellen. Habe es gespeichert aber den druck spare ich mir.
 

schrieb:

Magische zahlen sind stabile Anordnungen von Partikeln deren Oberfläche von einer vollen schale erstellt wird.

Eine magische Zahl beschreibt die Gesamtzahl an Atomen in einem Cluster, bei dem alle verfügbaren Gitterplätze innerhalb einer bestimmten Anzahl von Schalen vollständig besetzt sind, sodass eine geschlossene, hochsymmetrische Polyeder-Oberfläche entsteht.

EDIT: Scheiße! Auch nicht ganz richtig.

Eine magische Zahl beschreibt die Gesamtzahl an Partikeln in einem Cluster, der eine energetisch optimierte Form einnimmt. Dabei wird die theoretische Kugelform zugunsten einer Facettenstruktur aufgegeben: Atome an instabilen Oberflächenpositionen werden entfernt, bis nur noch dicht gepackte, energetisch günstige Ebenen die Außenhülle bilden. Eine magische Zahl entspricht somit dem Abschluss einer solchen energetisch minimierten Schale.

Diskrepanz zwischen geometrischer Belegung und energetischen Magischen Zahlen bei FCC-Clustern

Mir ist bei der Analyse von FCC-Kristallgittern (kubisch-flächenzentriert) eine interessante Differenz zwischen der rein geometrischen Platzbelegung und der energetischen Stabilität aufgefallen.

Betrachtet man die 3. Schale eines FCC-Clusters, ergibt sich folgendes Bild:

Energetische Betrachtung (Magische Zahl): Hier besteht der stabile Cluster aus 92 Partikeln.

Geometrische Betrachtung (Statische Belegung): Füllt man jedoch alle verfügbaren Gitterplätze innerhalb dieses Radius auf, benötigt man 122 Partikel.

Das System ist also mit 30 Partikeln weniger energetisch im Minimum. Die Aufschlüsselung der Layer (L) zeigt, warum das so ist:

L5: 24 Partikel

L6: 8 Partikel

L7: 48 Partikel

L8: 6 Partikel

L9: 36 Partikel (Grenz-Layer / Übergangs-Layer)

Summe L5–L9: 122 Partikel

Die Besonderheit des L9:
Der L9 bildet mit 36 Partikeln die äußere Grenze. Aber nur die ersten 12 Partikel sitzen direkt auf den Ecken und schließen die aktuelle Schale bereits geometrisch ab. Die restlichen 24 Partikel des L9 gehören zwar zur selben Distanzschicht/Layer, würden aber bereits die Struktur der 4. Schale einleiten.

Der entscheidende Punkt:
Um von der statischen Maximalbelegung (122) auf die energetisch stabile magische Zahl (92) zu kommen, „verschwindet“ interessanterweise der komplette Layer L8 (6 Partikel) sowie die überschüssigen 24 Partikel des L9. Die ersten 12 Partikel des L9, die auf den Ecken liegen und die Schale Schließen, bleiben aber bestehen.

L5 + L6 + L7 + L8 + L9 = Schale 3 + Layer 1 Schale 4 (Statisch) 
L5 + L6 + L7 + 1/3*L9 = Schale 3 (Energetisch)

Du meinst NS.hcp = (10N³+15N²+11N+3)/3
Für FCC kenne ich keine dearrtige Formel, oder meinst Du die Madelung Konstante 1,718 und die Lennard-Jones Stammzahl 14,45.

 

Rainer Raisch schrieb:

Du meinst NS.hcp = (10N³+15N²+11N+3)/3
Für FCC kenne ich keine dearrtige Formel, oder meinst Du die Madelung Konstante 1,718 und die Lennard-Jones Stammzahl 14,45.

Die von dir genannte Formel für N_{S.hcp} bezieht sich auf den idealen, schrittweisen Aufbau von Schalen bei Clustern (oft für Ikosaeder oder perfekte Kuboktaeder genutzt).

Meine Analyse setzt jedoch eine Ebene tiefer an: bei der diskreten Gitterstruktur des FCC. Die Formel gibt oft nur die ‚perfekten‘ magischen Zahlen an (wie 13, 55, 147...). Meine Beobachtung der 92 (Schale 3) zeigt aber, was zwischen diesen Idealen passiert, wenn man die Oberflächenenergie berücksichtigt (Wulff-Konstruktion).

Der Kernpunkt meiner Rechnung:
Die Standard-Formeln gehen oft von einer vollständigen Füllung aus. Ich habe die Abstände zum Zentrum im FCC-Gitter exakt berechnet.

Dabei zeigt sich:

Statische Kugelform (Radius-Cutoff):
Wenn man starr alle Plätze von Layer 5 bis zum Layer 9 füllt, landet man bei 122 Partikeln.

Energetische Selektion:
Das System ‚entscheidet‘ sich gegen den Layer 8 (6 Partikel auf den Flächenmitten) und gegen 2/3 des Layers 9 (24 Partikel), da diese die Oberflächenenergie drastisch erhöhen würden, ohne die Form zu schließen.

Die Lösung: Es bleiben nur die 12 Partikel des L9 übrig, die die Ecken des Rhombendodekaeders bilden. Daher meine Formel: L5 + L6 + L7 + 1/3 * L9 = 92

Das ist keine bloße statistische Annäherung wie die Madelung-Konstante und hat auch erstmal nichts mit elektrostatischem Potential zu tun, sondern ist die exakte Abzählung der stabilen Gitterplätze für diesen spezifischen Schalenabschluss. Es ist im Grunde die mathematische Darstellung dafür, warum ein Cluster bei Schale 3 lieber ein Rhombendodekaeder mit 92 Atomen bildet als eine instabile Kugel mit 122.

FabsOtX schrieb:

Das System ‚entscheidet‘ sich

Lässt sich das verifizieren?

Rainer Raisch schrieb:

FabsOtX schrieb:

Das System ‚entscheidet‘ sich

Lässt sich das verifizieren?

Ja, die Verifizierung steht direkt im restlichen Teil des Satzes, den du im Zitat weggelassen hast:

„[...] da diese die Oberflächenenergie drastisch erhöhen würden, ohne die Form zu schließen.“

Das ist der physikalische Kern:

L8 (Flächenmitten): Diese 6 Atome sitzen ungeschützt auf den Facetten. Sie haben eine minimale Koordinationszahl (wenig Bindungen nach innen) bei maximaler Exponiertheit nach außen. Das erhöht die Oberflächenenergie massiv.

L9 (2/3 Anteil): Das sind die Partikel, die keine Kanten- oder Eckpositionen besetzen. Sie bilden energetisch instabile „Stufen“.

Die Verifizierung liegt also im Prinzip des energetischen Minimums: Ein Cluster mit 122 Partikeln hat eine höhere Energie pro Atom als einer mit 92, weil die 30 zusätzlichen Partikel die Oberfläche „aufrauen“ und energetisch instabil sind. Die Natur „wählt“ (entscheidet sich für) die 92, weil dies die erste Konfiguration ist, bei der die Oberfläche wieder eine geschlossene, glatte Symmetrie (Rhombendodekaeder) aufweist.

FabsOtX schrieb:

Die Verifizierung liegt also im Prinzip des energetischen Minimums

Das hatte ich schon gelesen, das macht es auch sehr plausibel, (falls es stimmt), aber es verifiziert gar nichts. Dazu muss man es messen.

FabsOtX schrieb:

Die Verifizierung liegt also im Prinzip des energetischen Minimums

Das hatte ich shcon gelesen, das macht es auch sehr plausibel, aber es verifiziert gar nichts. Dazu muss man es messen.

FabsOtX schrieb:

bei maximaler Exponiertheit nach außen

Das ist ja nicht zwingend so. Eine Schale kann ja wie ein Ikosaeder aufgebaut sein, wo alle Ecken gleichen abstand vom zentrum haben.
Die Anordnung in Natur ist ja nicht zwingend so wie auf dem Reißbrett.
Die dichteste Anordnung muss nicht die energetisch günstigste sein.

Bei überschaubaren Gebilden siegt immer die Kugelform.