frühe Strukturbildung

Für Strukturbildung ist erforderlich, dass sich Teilchen verdichten, also aufeinander zu bewegen.

BAO sind eine (bekannte) Möglichkeit, die ich hier nicht erörtern will.

In der Expansion muss also die Bewegung schneller sein als der Hubble Flow.
Da der Hubble Flow in sich selber ruht, ergibt dies nur dann Sinn, wenn man eine bestimmte Entfernung betrachtet.

H·D < v

Im thermodynamischen Gleichgewicht bewegt sich alles mit thermischer (mittlerer) Geschwindigkeit
vT= ²(2kB·T/m)

Die Entfernung, die also für eine Strukturbildung in Betracht kommt, beträgt
r = ²(2kB·T/m)/H

Im thermodynamischen Gleichgewicht ist dies allerings illusorisch, weil keine freie Bewegung möglich ist. Man könnte allenfalls den Random Walk zugrunde legen. Daher ist diese Überlegung für die Zeit vor der Rekombination nur für DM maßgeblich und für Baryonen nachher. 

Weiterhin muss die gravitative Anziehung größer sein als die Expansionbeschleunigung
H²D < g
H²r = G·M/r²
ρ·(8·π·G/3)r = G·ρᵣ·(4π/3)r
Man sieht, dass ρᵣ zumindest doppelt so groß wie die allgemeine Dichte ρ sein muss, die Überdichte muss also größer als 
od = ρᵣ/ρ > 2
sein. Zudem kann diese Überdichte nicht aus Strahlung bestehen, weil diese im thermodynamischen Gleichgewicht allenfalls den BAO folgt.
Somit muss also in dieser überdichten Region Materiedichte ρmᵣ > ρr = ρ Strahlungsdichte sein.

Für das virial Modell bzw nach NFW {Navarro, Frenk, White} geht man üblich von od=200 aus. Es stellt sich halt die Frage, wie diese große Überdichte zustande kommen soll.

Hat sich allerdings eine Überdichte von od > 2 ergeben, dann sorgt die weitere Expansion des Universums sehr schnell für ein Ansteigen der Überdichte um den Faktor a⁴ bzw materiedominiert a³, weil die allgemeine Dichte ρ/a⁴ so verdünnt wird, ohne dass sich die Dichte ρᵣ in der überdichten Zielregion überhaupt erhöhen müsste. Auch hier ist allerdings wieder die Strahlungsdichte herauszurechnen, weil diese nicht konstant bleibt, sondern der Expansion folgt. Die Materiedichte müsste also zunehmen, wenn die Gesamtdichte konstant bleiben soll.

Zwischen dem Ausfrieren der Neutrinos und der Rekombination liegt ein Skalenfaktor von 
Ϙ.a = 4620000
In dieser Zeitspanne verdünnt sich ρ also um
4620000⁴ = 4.5568e+26
Um am Ende od > 200 oder mehr zu erreichen, genügt also eine winzige statistische anfängliche Überdichte. Wie gesagt ist zwar eine anfängliche Überdichte von 2 nötig. Bei od < 2 bedeutet dies lediglich, dass die gravitative Anziehung geringer als die Expansionswirkung ist, und die Rechnung komplizierter wird. Es ist jedoch offensichtlich, dass eine geringere anfängliche Überdichte od < 2 ausreichen wird, um einen geringeren Endwert als 4,5568e+26 zu erreichen.

Die anfängliche Dichte (Ausfrieren der Neutrinos) betrug
ρ = H²/(8piG/3) = 14071000 kg/m³
und zur Zeit der Rekombination
ρ' = 4.15498775e-18 kg/m³
 

Der Temperaturunterschied in der CMB beträgt ca 
ΔT = 27e-6K
ΔT/T = 0.00001
Zwar liegt dies nach Sachs-Wolfe an der Zeitdilatation der überdichten Regionen, also einer zeitversetzten Rekombination. Der Einfachheit halber errechne ich hier aber aus der Temperatur die Dichte
T =  ⁴(c²ρr/σa) 
ρr = T⁴σa/c²
od = Ϙ.ρr = 1.00001⁴ = 1,00004

Nun gut, ich weiß zwar nicht, ob dies nach Sachs-Wolfe ganz anders endet, aber mit diesem Ergebnis erübrigen sich die obigen Überlegungen zu DM. Es stellt sich die Frage, wie es nun mit der baryonischen Materie weiter geht.

Die thermische Bewegung der Protonen betrug zuletzt
vT =  ²(2kB·T/m) = 7000 m/s
dies entspricht einer Entfernung im Hubble Flow von
r = vT/H = 15,364 ly

Zusätzlich ergibt sich aus den BAO eine Geschwindigkeit bis zu c/²3 = 173000000 m/s, was einer Entfernung im Hubble Flow entspricht
r = c/²3H = 379566 ly

Die Abbremsung durch die Expansion ergibt sich aus (selbst bei Annahme konstanter Parameter H und D)
v = 0 = v₀+t·a = c/²3-t·H²D
t = c/²3H²D
In Bezug auf r=D ergibt sich
t = 20746887966804 s = 657442 Jahre
Mit anderen Worten, die Anfangsbedingungen genügen jedenfalls für eine weitere Kontraktion, denn im Verlauf der Expansion sinkt ja H weiter und auch mit der immer geringeren Entfernung sinkt der Wert von H²D und steigt der beschleunigende Wert von g, was ich wegen der geringen anfänglichen Überdichte weggelassen habe. Auch die Überdichte steigt, weil ρ sinkt.

Der Radius des ersten Peak beträgt
r₁ = θ₁·dA = 590690 ly
Auch hier ergibt sich t = 422460 Jahre, also Zeit genug für weitere Kontraktion.

Anmerkung zu den Farben in der CMB und Sachs-Wolfe.

Die Unterschiede kommen daher, dass die Rekombination in dichteren und daher lokal heißeren Regionen später erfolgte also in weniger dichten Regionen. Die Strahlung wurde überall bei der lokal gleichen Temperatur 3000 K frei.

In den "Voids" erfolgte die Rekombination also zeitlich früher, das Licht von dort wurde daher stärker rotverschoben und ist daher heute kälter. Dies wurde in der CMB blau markiert.

Der Faktor ist relativ gering Ϙ.a = 1,00001, also zwischen 
1089,91 < z < 1089,93

Nach der ART sind Zeitdilatation und Temperaturunterschied linear verbunden. Also gilt hier
Ϙ.σ = 1 ± 0,00001
Für die Dichte ist hierbei aber auch der Radius der Region maßgeblich.

Allerdings ist hier die innere Lösung nach Schwarzschild anzuwenden, da es sich ja um den Innenbereich einer Region handelt und nicht um den Außenbereich.
σi = (²(1-rs/ra)3-²(1-r²rs/ra³))/2
im Zentrum mit r=0 ergibt sich (ra Außenradius der Region)
σc = (²(1-rs/ra)3-1)/2 = (²(1-8π·ρ·ra³·G/3c²ra)3-1)/2 = 0,99999
ρi = (1-(2·0,99999+1)²/9)3c²/(8π·ra²G) = 2.143e+21/ra² kg/m³

mit dem ersten Peak r₁ für ra ergibt sich
ρi = 6,86254e-23 kg/m³
Dies muss wohl die Überdichte Δ.ρ sein, da für den mittleren Hintergrund σ=1 angesetzt ist.
ρ = 4,15938e-18 kg/m³
Die Überdichte ist also 
od = 1+ρi/ρ = 1,0000165
also etwas mehr als die Rotverschiebung von 1+0,00001 ausmacht, aber deutlich weniger als wenn man dies unmittelbar als Temperaturunterschiede interpretiert.

Eigentlich müsste das Licht aus den dichten Regionen nun wegen der Gravitation wieder stärker rotverschoben sein
1,00001·0,99999 = 1,00000000
1089.91/0.99999 = 1089.92
was den Effekt zunichte machen würde.

 

Rainer Raisch schrieb:

was den Effekt zunichte machen würde.

Diese theoretisch auf perfektem thermodynamischem Gleichgewicht beruhende Rechnung hätte ich mir sparen können.
Denn im thermodynamischen Gleichgewicht wäre die global betrachtete Temperatur immer überall gleich, sowohl bei Entstehung der CMB in den Voids wie auch später in den Odas (over dense areas, meine Wortschöpfung). Man könnte also keine Unterschiede beobachten.

Die sichtbaren Fluktuationen müssen also auf praktischen Unterschieden des thermodynamischen Gleichgewichts beruhen.

Man könnte sich dies so vorstellen, dass die Suppe von außen her abkühlt, also zuerst in den Voids, und dass diese "Information" erst mit Lichtgeschwindigkeit in die Odas vordringt. Damit hinge der Temperaturunterschied gar nicht von der unterschiedlichen Dichte ab, sondern nur vom Radius des Flecks (und von der Veränderung des Skalenfaktors in dieser Laufzeit). Natürlich muss man dann noch mit einem Modell darstellen, wie die Größe der Flecken von den Dichteunterschieden abhängt.

Die Geschwindigkeit der Abkühlung hat nichts mit den BAO also Schallgeschwindigkeit zu tun, denn sie erfolgt nicht mittels Transport einzelner Teilchen (Photonen), sondern erfolgt vor allem durch Stöße zwischen den Teilchen, also mit Teilchengeschwindigkeit hier c.

Bei den geringen Temperaturunterschieden und den großen Entfernungen kann dies jedoch nicht die Erklärung sein, das würde viel zu lange dauern und die Temperaturunterschiede müssten viel größer sein. Vielmehr muss die Erklärung durch eine unterschiedlich schnell ablaufende Expansion gefunden werden, was auf die gravitative Zeitdilatation zurückgeführt werden kann. Somit ergibt sich ein unmittelbarer Schluss auf die Dichteunterschiede, wie im vorigen Post berechnet.
Δ.σ ≈ Δ.z
 

Rainer Raisch schrieb:

Diese theoretisch auf perfektem thermodynamischem Gleichgewicht beruhende Rechnung hätte ich mir sparen können. 

Das kann man wohl sagen. Wieso sollte da etwas perfekt sein? Man muss wohl von chaotischem Verhalten ausgehen wie bei Supernovae z.B. Ohne Chaos explodieren die nicht.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Man muss wohl von chaotischem Verhalten ausgehen wie bei Supernovae z.B. Ohne Chaos explodieren die nicht.

Nein, so ist das nicht. Prinzipiell ist das thermodynamische Gleichgewicht perfekt. Sonst wäre es kein Gleichgewicht. Es muss eine Ursache geben, das Gleichgewicht zu stören, eben die Dichtefluktuationen, die nur durch DM verursacht werden können, weil DM nicht im thermischen Gleichgewicht ist, sondern spätestens mit den Neutrinos ausgefroren ist.

Die direkte Folge sind dann BAO. Dennoch wären diese nicht sichtbar, wie ich dargelegt habe, da der Temperaturausgleich schneller erfolgt als die BAO. Erst die Zeitdilatation mit der Expansion liefert eine Erklärung, zumindest sehe ich keine andere. Das thermodynamische Gleichgewicht verliert damit den globalen einheitlichen Charakter, weil diese Flecken zu groß sind.

Steinzeit-Astronom schrieb:

Wieso sollte da etwas perfekt sein?

Wieso sollte der Druck in einem Kolben überall gleich sein? Na? Deshalb nennt man es hydrostatisches Gleichgewicht.

Google KI:
Hydrodynamisches Gleichgewicht, auch als hydrodynamisches Gleichgewicht bekannt, beschreibt einen Zustand, in dem eine Flüssigkeit oder ein Gas im Fluss ist, aber keine makroskopische Änderung der Strömung stattfindet. Dies bedeutet, dass die Kräfte, die auf das Fluid wirken, im Gleichgewicht sind, so dass keine Beschleunigung oder Änderung der Strömungsgeschwindigkeit auftritt

wiki:
Ein System ist im thermodynamischen Gleichgewicht, wenn es in einem stationären Zustand ist, in dem alle makroskopischen Flüsse von Materie und Energie innerhalb des Systems verschwinden. Mikroskopische thermische Fluktuationen sind hingegen auch im thermodynamischen Gleichgewicht vorhanden.
 

Rainer Raisch schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb:

Man muss wohl von chaotischem Verhalten ausgehen wie bei Supernovae z.B. Ohne Chaos explodieren die nicht.

Nein, so ist das nicht. Prinzipiell ist das thermodynamische Gleichgewicht perfekt. Sonst wäre es kein Gleichgewicht.

Auf dem Papier als rein theoretischer Idealfall.

Rainer Raisch schrieb:

Es muss eine Ursache geben, das Gleichgewicht zu stören, eben die Dichtefluktuationen, die nur durch DM verursacht werden können

Natürlich muss das Gleichgewicht gestört sein und eben realiter nicht so perfekt wie auf dem Papier. Dass das nur durch DM verursacht sein kann sehe ich aber nicht. Es geht doch um Strukturbildung, was ein physikalischer Vorgang innerhalb des Universums ist:

wiki:
Mikroskopische thermische Fluktuationen sind hingegen auch im thermodynamischen Gleichgewicht vorhanden.
Um die geht es nach meiner Auffassung. Die Fluktuationen müssen sich doch zwangläufig chaotisch auswirken, so dass sich nie wirklich ein perfektes thermodynamisches Gleichgewicht ergeben kann. Schon beim 3-Körper-Problem hat man Chaos. Die Strukturbildung ist ein physikalischer Vorgang, bei dem man schwerlich mit einem statischen Gleichgewicht ausgehen kann, meiner bescheidenen Meinung nach, abgesehen von t=0 vielleicht. Vor allem auch deshalb nicht, weil das Universum wohl kein abgeschlossenes System ist. Es verändert sich als Ganzes, indem es z.B. expandiert.

Steinzeit-Astronom schrieb:

wiki:
Mikroskopische thermische Fluktuationen sind hingegen auch im thermodynamischen Gleichgewicht vorhanden.
Um die geht es nach meiner Auffassung.

Nein, es geht um makroskopische Dichteschwankungen.
Mikroskopische Fluktuationen sind ohne Dauer. Sie werden vom thermodynamischen Gleichgewicht genauso schnell  nivelliert, wie sie entstanden sind. Sie sind für die Beschreibung des Makrozustandes ohne jede Bedeutung, sondern nur ihre Statistik.

Rainer Raisch schrieb:

Rainer Raisch schrieb:

was den Effekt zunichte machen würde.

Diese theoretisch auf perfektem thermodynamischem Gleichgewicht beruhende Rechnung hätte ich mir sparen können.
Denn im thermodynamischen Gleichgewicht wäre die global betrachtete Temperatur immer überall gleich, sowohl bei Entstehung der CMB in den Voids wie auch später in den Odas (over dense areas, meine Wortschöpfung). Man könnte also keine Unterschiede beobachten.

Was ich damit sagen wollte, hatte ich schon gesagt:
Ausgehend von einem perfekten thermodynamischen Gleichgewicht stand das Ergebnis der Rechnung bereits von vorne herein fest.

Rainer Raisch schrieb:

Anmerkung zu den Farben in der CMB und Sachs-Wolfe.

Die Unterschiede kommen daher, dass die Rekombination in dichteren und daher lokal heißeren Regionen später erfolgte also in weniger dichten Regionen. Die Strahlung wurde überall bei der lokal gleichen Temperatur 3000 K frei.

.....

Eigentlich müsste das Licht aus den dichten Regionen nun wegen der Gravitation wieder stärker rotverschoben sein
1,00001·0,99999 = 1,00000000
1089.91/0.99999 = 1089.92
was den Effekt zunichte machen würde.

Ich denke, ich habs!

Die Frequenz der Photonen ist zwar letztlich überall gleich, aber die Dichte unterscheidet sich.

Im Potentialtopf bestimmt sich die Dichte nach der lokalen Temperatur, außerhalb nach der dortigen Temperatur. Wenn die Photonen endlich aus dem Potentialtopf entkommen können, weil die lokale Temperatur unter 3000 K sinkt, ist ihre Dichte höher als draußen. Diese Dichte ändert sich natürlich nicht, nur weil sie entkommen, während die lokale Temperatur rotverschoben wird und am Ende der Temperatur draußen gleicht. Objektiv betrachtet ändert sich ihre Temperatur ja gar nicht, das sieht nur lokal gemessen so aus.

n = T³σn
σn = 16π·ζA/c₂³

Somit strahlen die überdichten Gebiete intensiver als die Voids, allerdings nicht wie üblich mit T⁴ sondern nur mit T³.

ρ =  T⁴σa/c²
σa =  4σ/c

Rainer Raisch schrieb:

Somit strahlen die überdichten Gebiete intensiver als die Voids, allerdings nicht wie üblich mit T⁴ sondern nur mit T³.

Das bedeutet, dass die Intensität um 1/σ³ höher ist als normal.
Somit ergibt sich aus der "Temperaturdifferenz" der CMB, die ich als Intensitätsdifferenz deute, eine Zeitdilatation von
σ = ³(Ϙ.T) = ³(1-ΔT/T) = ³(1-0,00001) = 0,9999966666 = (²(1-rs/ra)3-²(1-r²rs/ra³))/2 = (²(1-rs/ra)3-1)/2 maximal für r=0 im Zentrum
ra = r₁ = dA·π/l₁ = 590,69 kly (1.Peak)
also (bei vereinfacht homogener Verteilung)
rs = ra(1-((2σ+1)/3)²) = 2,6 ly
also eine Masse (Überdichte) von
M = c²rs/2G = 1,6724e+43 kg
bzw Überdichte
Δρ = 3rs/r³κ = 2.287e-23 kg/m³
od = Δρ/ρ+1 = 1,00000549879

.... falls ich keinen Wurm reingebracht habe ....

Setzt man statt r₁ nur ra=r₁/2 an, um der Masseverteilung innerhalb der überdichten Region Rechnung zu tragen, dann ergibt sich ein Faktor von ca 4 für Δρ und somit 
od ≈ 1,000022

Nun schaue ich mir an, ob diese Überdichte zu einer gravitativen Bindung führt.

Für Objekte, die im Hubble Flow ruhen, beträgt die Beschleunigung infolge des Flows
∇.(D·H)·v = H²D

Für eine Überdichte Δρ bzw M beträgt die Grenze der gravitativen Bindung
H²r = M·G/r²
also
r < ³(M·G/H²) = ³(c²rs/2H²) = 6570 ly

Dies ist deutlich weniger als der Radius ra der "Flecken", gilt aber für Objekte, die im Hubble Flow ruhen.

Betrachet man nur die Wirkung der DE, was für Objekte gilt, die gegenüber dem Gravizentrum ruhen, was ja für den Peak der BAO anzunehmen ist
gΛ = Hoo²D = D·c²Λ/3
dann ergibt sich r < 5'869.469 ly, also deutlich mehr als ra=r₁=590.690 ly. Der ganze Fleck bleibt also gravitativ gebunden.
 

Rainer Raisch schrieb:

Nun schaue ich mir an, ob diese Überdichte zu einer gravitativen Bindung führt.

Für Objekte, die im Hubble Flow ruhen, beträgt die Beschleunigung infolge des Flows
∇.(D·H)·v = H²D

Für eine Überdichte Δρ bzw M beträgt die Grenze der gravitativen Bindung
H²r = M·G/r²
also
r < ³(M·G/H²) = ³(c²rs/2H²) = 6570 ly

Fraglich ist allerdings, ob eine gravitative Bindung in der Folgezeit stabil bleibt bzw ob eine ungebundene Konstellation ungebunden bleibt.

Ausgangspunkt ist (zB) der Grenzwert der Gleichheit H²D = M·G/D²
M·G > D³H² gebunden
M·G < D³H² ungebunden

Ein stabiles System bleibt stabil, wenn diese Bedingung auch für die Zukunft gilt.

Um nun festzustellen, ob die Konstellation stabil bleibt, bildet man das Minimum aus a³Ex², weil
H' = H°Ex
D' = a·D°
min(a³Ex²) = min(Ωm+a³ΩΛ+Ωr/a) = 0,3165
Es zeigt sich, dass dieser Wert ein Minimum bildet für
a = 0,0819235
z = 1/a-1 = 11,2065

Das bedeutet, dass alle stabilen Konstellationen vor diesem "Datum" immer stabiler wurden und dass Konstellationen, die seit diesem Datum instabil sind, auch instabil bleiben werden.

Rainer Raisch schrieb:

Ausgangspunkt ist (zB) der Grenzwert der Gleichheit H²D = M·G/D²

Diese Gleichheit betrifft eine Struktur, die sich (noch) mit dem Hubble Flow ausdeht.
Befinden sich hingegen die Elemente der Struktur im Zustand einer relativ konstanten Entfernung, dann ist nicht der Hubble Parameter maßgeblich, sondern als abstoßende Gravitation der allein durch Λ verursachte Beitrag zu H
Hoo = ²(3/Λ)c

Hier erfolgt der Vergleich also zwischen Hoo²D = M·G/D² mit konstantem Wert für Hoo und einer Pekuliarbewegung mit -u=v=H°D°.
also
D' = D°-H°D°+∫(H·D)dt

Da der Hubbleparameter Hoo (auf der einen Seite) konstant bleibt und der Hubbleparameter H auf der anderen Seite sinkt, wird sich also die Distanz mit der Zeit verringern. Stabile (bereits starre) Strukturen bleiben also stabil.

Es ist allerdings recht unwahrscheinlich, dass Strukturen die größer sind als im oberen Post berechnet, bereits starr sind. In der Regel ist bei großen Entfernungen wie bei Clusterhaufen die Pekuliargeschwindigkeit u der Randbereiche kleiner als der Hubble Flow v, so dass sich die Distanzen also laufend vergrößern.

Rainer Raisch schrieb:

Hier erfolgt der Vergleich also zwischen Hoo²D = M·G/D² mit konstantem Wert für Hoo und einer Pekuliarbewegung mit -u=v=H°D°.
also
D' = D°-H°D°+∫(H·D)dt

Die Formel für die mit dem Hubble Flow zurückgelegte Strecke ist einfach
(hier bezeichnet der Index ° den Beginn des Vorgangs, wie im vorherigen Post, und der Index ' das Ende der Betrachtungszeit)
s(a) = Δ.τ(a) ⊗ u = u·Δ.η(a) = u·(1/H₀)∫1/a²Ex da = D°(H°/H₀) ∫(1/a²Ex) da
Die Entfernung D' zur Zeit τ(a') beträgt dann
D' = D°a'/a°-a's(a)
D'/D° = a'/a°-a's(a)/D°

Aber man muss dann ja gar nicht rechnen, weil der Hubble Flow ja mit der Zeit langsamer wird und daher derartige Strukturen sowieso immer stabil sind, wenn sie sich irgedwann momentan nicht ausdehnen. Dafür genügt allein die Pekuliargeschwindigkeit.

Rainer Raisch schrieb:

D'/D° = a'/a°-a's(a)/D°

Man kann allerdings berechnen, welche Geschwindigkeit u = n·v = n·D°H°< D°H° zur Zeit a° nötig ist, um zur Zeit a' (wieder) den Abstand D° zu erreichen (D'/D°=1). Dies gilt dann unabhängig von der Distanz D°=rH°/n<rH°=c/H°, da sich diese herauskürzt.
1 = a'/a°-n·a'(H°/H₀) ∫(1/a²Ex) da
1 > n = (a'/a°-1)/[a'(H°/H₀) ∫(1/a²Ex) da] > 0

NACHTRAG:
Dabei müsste man auch die Abbremsung durch Expansion berücksichtigen, anstatt die Anfangsgeschwindigkeit (hier D°H°) konstant zu belassen:

Rainer Raisch schrieb:

u' = u/²(u²+ϙ²/γ²)

Dazu müsste man nur die Geschwindigkeit u=n·D°H° ins Integral hineinziehen, bzw den Faktor u'(u) dafür. Hier wird allerdings die allgemeine Formel verlassen, da diese Geschwindigkeit nun auch von der Distanz D° abhängt und nicht mehr herausgekürzt werden kann, weil die Bremsung der Geschwindigkeit eben nicht linear erfolgt.

D° <?> D' = D°a'/a°-a'/H₀ ∫ n·D°H°/²((n·D°H°/c)²+(a/a°)²)(1-(n·D°H°/c)²)/a²Ex) da =
= D°a'/a°-n·a'D°H°/H₀ ∫ 1/²((n·D°H°/c)²+(a/a°)²(1-(n·D°H°/c)²))/a²Ex) da