Von koordinatenabhängiger Variabilität zu dynamischer Raumzeitkrümmung

Da nun alles fast geklärt, dank des "Meisters" ,

kurz noch die Gegenüberstellung der beiden Wege, wie im Thread bisher aufgezeigt, die von der SRT zur ART führen. Wobei zu sagen ist, dass das "SP" historisch als die ureigentliche Veranlassung von der SRT zur ART überzugehen, interpretiert werden kann.

Das Beispiel Rindler-Metrik ist jedoch andererseits aktueller, didaktisch moderner und birgt daher auch einen Übergang zu QFT. Der welche sich weiterführend an den Horizonten Rindlers (Unruh-Effekt) und Schwarzschilds (Hawkingstrahlung) zusammenführen lässt... wenn man so will.
Btr. der Historie: umwelt-wissenschaft.de/forum/naturwissen...mmung?start=60#14776

Hier noch eine kurze Gegenüberstellung:
Rindler-Metrik vs. Ehrenfest-Scheibenparadoxon

Weg 1: Die Rindler-Metrik

• Physikalischer Fokus: Das Einsteinsche Äquivalenzprinzip (lokale Gleichwertigkeit von Beschleunigung und Gravitation).
• Haupterkenntnis: Wie Beschleunigung die ZEIT beeinflusst (gravitative Zeitdilatation, Uhrendesynchronisation).
• Raum-Geometrie: Lokal flach (euklidisch). Es bleibt eine reine Koordinatentransformation im flachen Minkowski-Raum der SRT.
• Didaktische Stärke: Genial, um lokale Effekte (z. B. das Verhalten knapp über dem Schwarzschild-Horizont) mathematisch einfach zu approximieren.

Weg 2: Das Ehrenfest-Scheibenparadoxon

• Physikalischer Fokus: Der Zusammenbruch der flachen, euklidischen Raumstruktur durch Zentripetalbeschleunigung.
• Haupterkenntnis: Wie Beschleunigung den RAUM verzerrt (tangentiale Lorentz-Kontraktion führt zu U < 2πr).
• Raum-Geometrie: Global gekrümmt (nicht-euklidisch). Der Raum selbst erzwingt den Übergang zur Riemannschen Geometrie.
• Historische Stärke: Der echte von John Stachel beschriebene "Missing Link", der Einstein bewies, dass Gravitation als geometrische Krümmung beschrieben werden muss.

Bis später.
Z.

Mein Lieblingsbeispiel dafür wo die SRT zur ART wird ist das Milne Universum wo man einerseits zwar eine Explosion mit dem endlichen Radius ct in flacher Raumzeit hat, das aber zugleich ein unendlich großes Urknalluniversum mit Radius ∞ und hyperbolischer Raumkrümmung ist, je nachdem welche Gleichzeitigkeitshyperfläche man wählt.

Rainer Raisch schrieb:

Yukterez schrieb:

Z. schrieb:

Rainer: a' = √((b¹·β¹/γ²β)² + (b¹×β¹/γβ)²) = b/γ = γ·a

Die Eigenbeschleunigung des Kreisenden ist ã=F/m=γ²a=v²γ²/r (also mit quadriertem Gammafaktor, denn die Beschleunigung ist eine zweite Zeitableitung). Unter Newton wäre es einfach ã=a=v²/r ohne Gammafaktor. Damit hier nichts assumed werden muss hab ichs direkt über die Metrik ausgerechnet, so schauts zwar auf den ersten Blick ein bisschen komplizierter aus aber dafür ist es wasserdicht: Rechnung

Ja das (b) hatte ich schon, aber ich brauche letztlich die effektive Beschleunigung (a'), und diese ist dank vᵣ=0 wieder die normale Koordinatenbeschleunigung a'=a=ω²r (vgl Langevin).

Und wenn man die 1+ als -1 auf die andere Seite bringt und statt die relativistische Addition auszurechnen, den Ausdruck γₛ=(1+β²)/(1-β²) stehen lässt. löst sich alles in Wohlgefallen auf.
γₛ-1 = 2β²/(1-β²) = τΔ/Δτ

Lieber Rainer,

deine algebraische Umformung für das Verhältnis γₛ-1 = 2β²/(1-β²) = τΔ/Δτ besitzt eine bemerkenswerte formale Eleganz. Als mathematische Identität im flachen Minkowski-Ruhesystem ist diese Herleitung absolut konsistent und zeigt einen geschulten Blick für logische Symmetrien. Es ist verständlich, dass man bei so einer "schönen" Symmetrie das Gefühl hat, es "löste sich alles in Wohlgefallen" auf.

Der physikalische Bruch in der Diskussion liegt jedoch nicht in dieser Algebra, sondern in der Übertragung von der Kinematik auf die Dynamik. Wenn du über das Langevin-Bezugssystem argumentierst und aufgrund der rein transversalen Bewegung (v_r = 0) die effektive Beschleunigung a' mit der klassischen Koordinatenbeschleunigung a = ω²·r gleichsetzt, beschreibst du die Kinematik aus der Sicht des außenstehenden Inertialbeobachters.

Deine letzte Gleichung isoliert zwar präzise die Zeitdilatation und das Verhältnis der Eigenzeiten, doch diese zeitliche Verzerrung ist genau der Grund, warum die Beschleunigung sich eben nicht klassisch auflösen kann. Die von Yukterez angeführte Eigenbeschleunigung ã = γ²·a = γ²·v²/r beschreibt hingegen die dynamische Realität... lokal auf der Kreisscheibe.

Da die Beschleunigung eine zweite Ableitung nach der Zeit ist, schlägt die lokale Zeitverzerrung als quadriertes γ² voll in die messbare Realität ein. Ein dort mitrotierender Beobachter befindet sich in einem nicht-euklidischen Raum, in dem die Geometrie hyperbolisch verzerrt ist. Ein reales, mitgeführtes Akzelerometer misst exakt diese verstärkte Eigenbeschleunigung und ist die unbestechliche Norm des relativistischen Viererbeschleunigungsvektors.

Deine formale Brücke glättet diese physikalische Realität der Raumzeit-Krümmung zugunsten einer euklidischen Symmetrie der Zeiten.....(Eigenzeiten). Wenn wir jedoch den Schritt von der reinen Algebra zur messbaren Dynamik vollziehen, würde mich interessieren, wie du den fundamentalen Unterschied der geometrischen Projektion im Ruhesystem vs. der lokal messbaren Eigenbeschleunigung des rotierenden Beobachters interpretierst?

HGZ.

Yukterez schrieb:

Mein Lieblingsbeispiel dafür wo die SRT zur ART wird ist das Milne Universum wo man einerseits zwar eine Explosion mit dem endlichen Radius ct in flacher Raumzeit hat, das aber zugleich ein unendlich großes Urknalluniversum mit Radius ∞ und hyperbolischer Raumkrümmung ist, je nachdem welche Gleichzeitigkeitshyperfläche man wählt.

Hallo Y.,

das Beispiel des Milne-Universums ist ein faszinierender Einwurf, der das Kernthema des Threads perfekt abrundet. Danke. Dein Beispiel führt uns sozusagen automatisch zu einem Giganten der Wissenschaftsgeschichte, der in solcher art Debatten wie hier leider viel zu selten die Anerkennung bekommt, die ihm gebührt, nämlich Bernhard Riemann. Der hier folgend in das Licht gerückt werden soll das höchstwahrscheinlich von ihm ausging. 

Schön... dass du überhaupt die Zeit findest mich und andere mit deinem Einsichten zu unterstützen.
Habe die Ehre
HZ.

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Zu B. Riemann im allgemeinen und speziellen

Wenn wir hier heute darüber diskutieren, wie aus der flachen Raumzeit der SRT die Werkzeuge der ART hervorgehen, dann nutzen wir die Sprache, die Riemann bereits im Jahre 1854, Jahrzehnte vor Einstein, in seinem legendären Habilitationsvortrag  "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" erschaffen hat. Dieses fundamentale Werk wurde später im Jahre 1868 posthum in den Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen im Band 13 auf den Seiten 133 bis 152 veröffentlicht.

Riemann hat damals radikal mit der euklidischen Vorstellung gebrochen und das Konzept der Riemannschen Mannigfaltigkeiten sowie die mathematische Grundlage des metrischen Tensors über die Definition des quadratischen Linienelements eingeführt. Seine Geometrie erlaubt es, Räume rein intrinsisch, also aus der Sicht des lokalen Beobachters, zu beschreiben. Und genau dieses mathematische Erbe kommt nun in unseren drei Beispielen auf wunderbare Weise zum Tragen.

Bei der Rindler Metrik nutzen wir Riemanns krummlinige Koordinaten, um eine lineare Beschleunigung zu beschreiben. Der Riemann Krümmungstensor selbst bleibt zwar, wie gesehen, Null und die Minkowski Raumzeit flach, aber über die Metrik sehen wir, wie Trägheitskräfte die Eigenzeit verzerren.

Bzgl. Ehrenfest Scheibenparadoxon führt die LK dazu, dass der Raum für den Mitrotierenden real nicht euklidisch wird und der Umfang größer als zwei Pi r ausfällt. Riemanns Geometrie liefert uns hier das unersetzliche Werkzeug für diese intrinsische Raumverzerrung.

Das Milne Universum wiederum zeigt Riemanns Genie in Reinform, denn eine simple Teilchenexplosion (mitbewegter lokaler Beobachter) in der flachen SRT transformiert sich allein durch den Wechsel auf riemannsche Gleichzeitigkeitshyperflächen in ein expandierendes Urknalluniversum mit hyperbolischer Raumkrümmung.

In allen drei Fällen zeigt sich, dass man anfangs gar keine massiven Körper braucht, um Riemanns Geometrie anzuwenden. Allein der Wechsel des Beobachterstandpunkts oder Beschleunigung zwingen dazu, sich seiner Werkzeuge zu bedienen. Aus dieser tiefen Erkenntnis resultiert unmissverständlich, dass Riemann für die moderne Physik schlichtweg unverzichtbar war und ist. Erst durch seine mathematische Revolution wurde das starre Korsett des Raumes aufgebrochen und eine dynamische Variabilität der Geometrie überhaupt erst denkbar. Einstein hat die Physik geliefert, jedoch Riemann hat die mathematische Universum der puren Variabilität geschaffen, in dem sie stattfindet.

Grüße Z.

PS
Man oh man da waren ja noch Fehler drin.... Ehrenfest/Rindler korrigiert.

Yukterez schrieb:

Die Eigenbeschleunigung des Kreisenden ist ã=F/m=γ²a=v²γ²/r (also mit quadriertem Gammafaktor, denn die Beschleunigung ist eine zweite Zeitableitung). Unter Newton wäre es einfach ã=a=v²/r ohne Gammafaktor. Damit hier nichts assumed werden muss hab ichs direkt über die Metrik ausgerechnet, so schauts zwar auf den ersten Blick ein bisschen komplizierter aus aber dafür ist es wasserdicht:
Kreisbahn Minkowski Metrik

Die Rechnung da oben ist in sphärischen Minkowski Koordinaten, hier ist noch die Proberechnung in Born Koordinaten (v=ωr). Die θ-Komponente der 4-Geschwindigkeit des kreisenden Beobachters ist hier 0 da die Koordinaten mit ihm mitrotieren, aber es kommt natürlich die gleiche Kraft bzw. Eigenbeschleunigung raus:
Kreisbahn Born Metrik

Allgemein abschließend SRT/ART

Bevor ich nun zum letzten Teil in die QFTCS übergehe, möchte ich noch einen letzten sozusagen "Variablen-Standpunkt" anbringen, nachdem wir die klassischen physikalischen und didaktischen Klippen der Rindler-Raumzeit, des Ehrenfest-Paradoxons und des Milne-Universums analysiert, korrigiert und sozusagen umschifft haben. Wie gesagt ist Ziel dieser Arbeit aufzuzeigen, wie die Variabilität, die in der SRT steckt (zum Beispiel durch den bloßen Wechsel des Beobachterstandpunkts oder der Gleichzeitigkeitshyperflächen), im flachen Minkowski-Raum die fundamentalen geometrischen Effekte der ART imitiert.

Fassen wir das also bisherige Fundament in seiner Struktur zusammen und schauen was noch fehlen könnte:

1. Koordinatentransformationen verzerren die ZEIT: Sie lassen Uhren ortsabhängig ungleich schnell laufen (Rindler).
2. Sie verzerren den DREIDIMENSIONALEN RAUM: Sie machen die Geometrie des mitrotierenden Raumes für den Beobachter lokal messbar nicht-euklidisch, während die 4D-Raumzeit flach bleibt (Ehrenfest).
3. Sie verzerren den RÄUMLICHEN SCHNITT: Sie transformieren eine flache Raumzeit allein durch den Wechsel der Hyperflächen in einen scheinbar expandierenden Kosmos mit hyperbolisch gekrümmten räumlichen Dimensionen (Milne).

Um diese geometrische Beweiskette nun zu schließen und das Gesamtbild abzurunden, sollten wir uns einen vierten wichtigen Baustein ansehen.

Die Verzerrung der Richtung über die Thomas-Präzession.

1. Die Thomas-Präzession verzerrt die RICHTUNG: Sie verdreht die fundamentalen Orientierungsachsen von Kreiseln im Raum über die Struktur der Lorentz-Transformationen.

Während Rindler die Zeit dehnt, Ehrenfest den Raum krümmt und Milne den Raum "expandieren" lässt, zeigt uns die Thomas-Präzession ein oft übersehenes, aber tiefgründiges Phänomen der Richtungsstabilität. Wenn ein Objekt eine gekrümmte Bahn durchläuft, führt der kontinuierliche, infinitesimale Wechsel der Lorentz-Bezugssysteme zu einer rein kinematischen Drehung. Ein mitgeführtes Gyroskop (ein Kreisel), auf das im mitbewegten System absolut kein Drehmoment wirkt, behält seine Richtung gegenüber dem flachen Raum somit nicht bei, seine Achse driftet unaufhaltsam ab.

Zur mathematischen Verdeutlichung lässt sich die Thomas-Winkelgeschwindigkeit ω_T, mit der die Achse des Kreisels im Verhältnis zum äußeren Ruhesystem präzediert, für eine beliebig beschleunigte Bewegung wie folgt formulieren:
ω_T = (γ² / (γ + 1)) · (a × v) / c²

Für den konkreten und anschaulichen Fall einer exakten Kreisbahn mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω und einer Geschwindigkeit weit unter der Lichtgeschwindigkeit (v ≪ c) kollabiert dieser Ausdruck über eine Taylor-Näherung in die kompakte und übersichtliche Form:
ω_T ≈ - ½ · β² · ω (mit β = v/c)

Das Minuszeichen zeigt die fundamentale Natur dieses relativistischen Effekts aus Sicht des äußeren, unbeschleunigten Inertialsystems. Während der Beobachter die Kreisbahn in eine Richtung durchläuft, bleibt die Orientierungsachse des Kreisels im Laborvergleich kinematisch etwas zurück diese rotiert im Verhältnis zur Umlaufrichtung rückwärts. Für den mitbewegten Beobachter selbst äußert sich dies so, dass sich die raumfeste Achse seines scheinbar drehmomentfreien Kreisels entgegen der Fahrtrichtung (also entgegengesetzt zur Bahnbewegung) wegdreht.

Dieses Phänomen ist das rein kinematische Analogon zur geodätischen Präzession (De-Sitter-Effekt) der ART. Es zeigt auf mathematischer und geometrischer Ebene, dass die geometrische Variabilität der SRT im flachen Raum nicht nur Längen und Zeiten deformiert, sondern auch die Orientierung im Raum selbst beeinflusst. Der Übergang von der SRT zur ART ist somit nicht als künstliches Konstrukt zu bewerten, sondern die zwingende Konsequenz, wenn man die Metrik aus der Sicht mitbewegter Beobachter in allen Dimensionen ernst nimmt.

Insofern sollte der Titel der Arbeit... "Von koordinatenabhängiger Variabilität zu dynamischer Raumzeitkrümmung", aufgrund der dargelegten physikalischen und mathematischen Zusammenhänge, dessen schlüssige Begründung finden...

HG Z.

Z. schrieb:

Deine formale Brücke glättet diese physikalische Realität der Raumzeit-Krümmung zugunsten einer euklidischen Symmetrie der Zeiten.....(Eigenzeiten). Wenn wir jedoch den Schritt von der reinen Algebra zur messbaren Dynamik vollziehen, würde mich interessieren, wie du den fundamentalen Unterschied der geometrischen Projektion im Ruhesystem vs. der lokal messbaren Eigenbeschleunigung des rotierenden Beobachters interpretierst?

Das ist keine formale Brücke, sondern der erforderliche Parameter a' = b/γ² = aₜᵣ für die Formel. Bisher kannte ich nur a' = b/γ² = γ·aₗₒ.

a' ist die kinematisch beobachtete "relative" Beschleunigung, und es ist (für mich) kein Wunder, dass diese genau a' = aₜᵣ ist, da vₜᵣ = 0.

Hallo Rainer,
die Sicht des äußeren Beobachters, nochmals OK. Dazu schrieb ich ja schon drüber.
Leider hast du meine weiterführende Frage dazu nicht beantwortet. Das macht aber nichts. Ich schrieb ja was mir wichtiger ist!

Schlussendlich glaube ich, dass der hier angestrebte Paradigmenwechsel von der SRT zur ART dennoch allen klar geworden ist.

Bis später.
HGZ.